równania funkcyjne az: Hej. Miałem do rozwiązania równanie funkcyjne: f: R→R f(y)f(x)−xy=f(x)+f(y)−1 Po kilku podstawieniach (x=y, x=a, y=0,x=0 y=a) otrzymałem że: f(x)=0 V f(x)=1 Skąd mam wiedzieć czy to są jedyne rozwiązania tego równania? Czy da się jakoś udowodnić, że nie ma innych?

jc: x=y=2 a²−4=2a−1 ani 0, ani 1 nie spełniają tego równania.

jc: (f(x) − 1)(f(y) − y)=xy x=y=1 ... f(1)=2 lub f(1)=0. Teraz podstawiamy y=1. W pierwszym przypadku mamy f(y)−1=y, czyli f(y)=1+y, w drugim przypadku f(y)−1=−y, czyli f(y)=1−y.

jc: Oj, tam miało być: (f(x)−1)(f(y)−1)=xy. Reszta ok.

az: a skąd mam wiedzieć że to jedyne rozwiązania?

jc: Raczej masz sprawdzić, czy to są faktycznie rozwiązania. Rozumowanie ma postać kolejnych implikacji. Jeśli równanie nie ma rozwiązań, to na końcu możemy uzyskać coś zupełnie dowolnego.