l zespolone maja: rozwiaz rownanie 4Z⁴−2Z³+4Z²−3Z+2= 0

	1−i
wiedzac ze jego dwa pierwiastki to Z1=U{{1+i}{2} Z2=
	2

co mi daje ze znam te pierwiastki jak moge to wykorzystac ? to na liczbach zespolonych rownanie, ale nie pamietam nawet jak przy zwyklych rownaniach sie to liczylo

Mariusz: Oblicz sumę i iloczyn podanych pierwiastków

1+i		1−i
	+		=1
2		2

(1+i)(1−i)		1+1		1
	=		=
4		4		2

	1
z2−z+		jest czynnikiem tego wielomianu występującego po lewej stronie równania
	2

Dzielisz więc wielomian 4z⁴−2z³+4z²−3z+2 przez 2z²−2z+1

ICSP:

	1		i		1		i
2(z − z1)(z − z2) = 2(z −		−		)(z −		+		) =
	2		2		2		2

	1		i		1		1
= 2(z −		)2 − 2(		)2 = 2z2 − 2z +		+		= 2z2 − 2z + 1
	2		2		2		2

i już wiem do czego grupować: 4z⁴ − 2z³ + 4z² − 3z + 2 = 4z⁴ − 4z³ + 2z² + 2z³ − 2z² + z + 4z² − 4z + 2 = = 2z²(2z²− 2z + 1) + z(2z² − z + 1) + 2(2z² − z + 1) = = (2z² + z + 2)(2z² − 2z + 1)

	−1 + √15i
z3 = z4* =
	4

maja: ICSP a mozesz mi jeszcze wytlumaczyc skad ta 2 w pierwszej linijce, czemu to sie tak zapiisuje

maja: Mariuszu, dziekuje za pomoc, suma iloczyn okey ogarniam, ale potem co sie dzieje dalej w twoim rozwiazaniu

ICSP: możesz bez dwójki ale wtedy będziesz miała ułamki. Dużo łatwiej działa się na liczbach całkowitych niż na wymiernych.

maja: a czemu w tym rozwiazan caly czas mnozy sie (Z−Z₁)(Z−Z₂) moze to oczywiste ale nie moge wpasc o co tu chodzi dlaczego tak

ICSP: skoro wielomian w(z) ma pierwiastki z₁ i z₂ to jest on podzielny przez wielomian: g(z) = (z − z₁)(z − z₂) Najpierw wyznacza się wielomian g a następnie wykonuje dzielenie (w moim wypadku jest to grupowanie)

piotr: (Z−Z₁)(Z−Z₂) = Z²−Z+1/2 dzieląc wielomian 4Z4−2Z3+4Z2−3Z+2 przez Z²−Z+1/2 otrzymujemy: 2(2 Z² + Z + 2) i dalej: 2(2 Z² + Z + 2)=0 Δ=1−16=−15

	−1−i√15
Z3=
	4

	−1+i√15
Z4=
	4

Mariusz: "Mariuszu, dziekuje za pomoc, suma iloczyn okey ogarniam, ale potem co sie dzieje dalej w twoim rozwiazaniu"

	b		c
Maju z wzorów Vieta wiesz że z1+z2=−		oraz z1z2=
	a		a

i możesz łatwo bez mnożenia dostać wielomian g jak go nazwał ICSP Następnie dzielisz wielomian występujący w równaniu przez wielomian g

maja: oki, dziekuje bardzo za pomoc, rozumiem, a Piotr pierwiastek z delty czyli √−15 to nie bedzie {√15i,−√15i}, jak to sie robi bo wtedy wyszlyby mi 4 rozwiazania

maja: dobra cztery, ale po dwa takie same