granice xyz: Witam, nie mogę sonie poradzić z tymi przykładami: lim x−>0 (tgx−sinx)/sin³x lim−>3 (arctg(3x−9))/x²−9

ICSP:

tgx − sinx		sinx(1 − cosx)		(1−cosx)(1+cosx)
	=		=
sin3x		cosxsin3x		cosx(1+cosx)sin3x

	1		1
=		→
	cosx(1 + cosx)		2

arctg(3x−9)		arctg(3x−9)		3		1
	=		*		→
x2 − 9		3x−9		x+3		2

Mariusz: ICSP

	sinx(1−cosx)		(1−cosx)(1+cosx)
Równość		=
	cosxsin3x		cosx(1+cos(x))sin3x

jest fałszywa Wygląda na to jakbyś po rozszerzeniu ułamka chciał skrócić sinusy i skróciłeś w liczniku ale nie w mianowniku

ICSP: wystarczy zamienić sin³x na sin²x po znaku = i będzie dobrze.

xyz: Mógłby ktoś dokładniej wytłumaczyć ten pierwszy przykład? Mianowicie chodzi mi o to, co się dzieje po podstawiewniu sinx=1+cosx,

Jerzy: Tam nie ma podstawienia,tylko wyłączenie sinx przed nawias.

H: Rozpisz tgx na sinx/cosx

xyz: ale skąd się bierze to (1−cosx)(1+cosx)/cosx(1+cosx)sin³x, a poźniej to 1/cosx(1 + cosx)

Jerzy: To rozszerzenie ułamka,chociaż moim zdaniem nieuprawnione, bo wyrażenie 1 + cosx może być równe 0

Mariusz: Jerzy a co proponujesz w zamian bo można by jeszcze zamienić na funkcje trygonometryczne połowy kąta

tgx−sinx		sinx(1−cosx)		(1−cosx)
	=		=
sin3x		cosxsin3x		cosxsin2x

	1−cosx		1		x2
=(		)(		)(		)
	x2		cosx		sin2x

	1−cosx
I teraz widać że wystarczy obliczyć granicę limx→0
	x2

Zastosujmy w liczniku jedynkę trygonometryczną i wzór na cosinus podwojonego kąta

	1−cosx
limx→0		=
	x2

	1−cosx	x   x   x   x   (cos2( )+sin2( ))−(cos2( )−sin2( ))   2   2   2   2
limx→0
	x2	x2

	1−cosx		x   2sin2( )   2
limx→0		=limx→0
	x2		x2

	1−cosx		x   2sin2( )   2
limx→0		=limx→0
	x2		x   4( )2   2

	1−cosx		2		x   sin( )   2
limx→0		=		limx→0(		)2
	x2		4		x   2

	1−cosx		1
limx→0		=
	x2		2

Jerzy a to rozwiązanie jest twoim zdaniem uprawnione ?