? Osioł: Rozłóż wielomian na czynniki stopnia pierwszego. 3x³−35x²+48x+20=0 Liczę i mi ten przykład nie wychodzi.

janek191: x = 10 Podziel przez x − 10

janek191:

	1
Odp. x = −		lub x = 2 lub x = 10
	3

janek191: Dokończ

Osioł: Udało się. Dziękuję, już widzę błąd.

Mariusz: Ja nie lubię sprawdzać dzielników Już wolałbym tutaj sprowadzić to równanie do postaci przypominającej wzór na funkcje trygonometryczne cosinus bądź sinus kąta potrojonego bo mamy trzy pierwiastki rzeczywiste

M: A ja nie lubię pierogów

6latek: Jeden lubi bułki , drugi córki piekarza

janek191:

Mariusz: Sprawdzanie dzielników nie zawsze jest skuteczne ani nawet szybsze 3x³−35x²+48x+20=0

	35		20
x3−		x2+16x+		=0
	3		3

Najpierw staramy się wyrugować wyraz z x² Można to zrobić np podstawieniem albo tak jak ja tutaj przedstawiając wielomian

	35
w postaci sumy potęg dwumianu x−
	9

	35		35		1225		42875
(x−		)3=x3−		x2+		x−
	9		3		27		729

	35		793		35
(x−		)3−		(x−		)=
	9		27		9

	35		1225		42875		793		83265
(x3−		x2+		x−		)−(		x−		)
	3		27		729		27		729

	35		793		35		35		40390
(x−		)3−		(x−		)=x3−		x2+16x+
	9		27		9		3		729

	35		793		35		35530
(x−		)3−		(x−		)−		=
	9		27		9		729

	35		40390		35530
(x3−		x2+16x+		)−
	3		729		729

	35		793		35		35530		35		20
(x−		)3−		(x−		)−		=x3−		x2+16x+
	9		27		9		729		3		3

	35		793		35		35530
(x−		)3−		(x−		)−		=0
	9		27		9		729

	35
z=x−
	9

	793		35530
z3−		z−		=0
	27		729

Teraz metoda algebraiczna zakładałaby że pierwiastki są w postaci sumy dwóch składników Po wstawieniu do równania trzeba by było skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, pogrupować wyrazy i zapisać równanie w postaci układu równań który łatwo przekształcić we wzory Vieta dla równania kwadratowego W tym przypadku to równanie kwadratowe nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych więc jeśli nie mieliśmy wprowadzonych liczb zespolonych lepiej skorzystać z tego że równanie z wyrugowanym x² bardzo przypomina wzór na cosinus bądź sinus potrojonego kąta

	793		35530
z3−		z=
	27		729

Wzór na cosinus potrojonego argumentu to: cos(3θ)=4cos³(θ)−3cos(θ) z=ucos(θ)

793   − u   27		−3
	=
u3		4

793   −   27		−3
	=
u2		4

	793		3
−		=−		u2
	27		4

4*793
	=u2
81

	2
u=		√793
	9

	2
z=		√793cos(θ)
	9

	793		35530
z3−		z=
	27		729

8		793		2		35530
	(793√793)cos3(θ)−		(		√793cos(θ))=
729		27		9		729

8		2		35530
	cos3(θ)−		cos(θ)=
729		243		(729)793√793

	35530		729
4cos3(θ)−3cos(θ)=		(		)
	(729)793√793		2

	17765
4cos3(θ)−3cos(θ)=
	793√793

	17765
cos(3θ)=
	793√793

	17765√793
cos(3θ)=
	628849

Teraz jeśli zdefiniujemy sobie funkcję odwrotną do cosinusa to otrzymamy

	2		1		17765√793
z1=		√793cos(		arccos(		))
	9		3		628849

	2		1		17765√793
z2=		√793cos(		(arccos(		)+2π))
	9		3		628849

	2		1		17765√793
z3=		√793cos(		(arccos(		)+4π))
	9		3		628849

	2		1		17765√793		35
x1=		√793cos(		arccos(		))+
	9		3		628849		9

	2		1		17765√793		35
x2=		√793cos(		(arccos(		)+2π))+
	9		3		628849		9

	2		1		17765√793		35
x3=		√793cos(		(arccos(		)+4π))+
	9		3		628849		9

gdzie arccos(x) jest funkcją odwrotną do funkcji cos(x)

6latek: Mariusz.Prosze sie nie gniewac Ale wystarczy tego popisywania .Tutaj ewidentnie widac ze to jest zadanie z liceum .

ABC: tym bardziej że Mariusz jako informatyk mógłby program do sprawdzania dzielników ułożyć, skoro sam nie lubi tego robić

6latek: Dzien dobry ABC Nie mam siły do nauki . A czas leci nieublaganie Z tymi rownaniami jest tak . Ile takich rownan z poziomu studia bylo na forum . Trzy moze 4 do rozwiazania . Mysle nawet ze bardziej to traktowane bylo hobbystycznie gdyz prawie zaden z nich nie interesowal sie rozwiazaniami . To pokazuje jak teraz traktowane sa takie rownania na studiach .Z mojego punktu widzenia jest to bardzo dobrze . Od tego jest program , a jesli braknie pradu czy siadzie bateria w telefonie student ma wiedziec gdzie moze znalezc informacje o tym Takie rozwiazania jak pisze Mariusz byly owszem dobre kiedy my chodzilismy do szkoly . Trudno jesli po tym co napisalem Mariusz bedzie czul jaks uraze do mnie .Jesli tak to go przepraszam ale zdania nie zmienie .

6latek: Mialem napisac trzy moze cztery ostatnimi czasy .Ostatnie bylo Damiana

ABC: wzory pierwiastnikowe na 3,4 stopień mają głównie znaczenie teoretyczne, nawet w XIX wielu astronomowie do obliczania orbit planet używali metod przybliżonych bo mieli bardzo brzydkie współczynniki tych równań. Orbitę Neptuna gość obliczył metodą Łobaczewskiego−Graffego , skądinąd bardzo ciekawą . Polecam Ci książeczkę nr 16 z serii Biblioteczka Matematyczna , zapewne masz w swoich zbiorach. Andrzej Włodzimierz Mostowski "Rozwiązywanie równań algebraicznych"

6latek: ABC .Mam ją . Czasami z niej korzystam .Tam jest o liczbach zespolonych tez .

ABC: tak , dość przyjemnie napisana książeczka

6latek: Pozniej bede mial do Ciebie pytanie ,tylko musze cos znalezc

Mariusz: No tutaj mamy wzór skróconego mnożenia , grupowanie wyrazów , wzory Vieta, równanie kwadratowe , funkcje trygonometryczne , funkcja odwrotna Zdaje się że to wszystko jest w liceum A jeszcze jedno Vax był w gimnazjum gdy mu pokazałem sposób na równania trzeciego i czwartego stopnia Korzystaliśmy wtedy z jednego z rozdziałów książki Wacława Sierpińskiego "Zasady algebry wyższej" http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf A co do przykładów na równanie trzeciego stopnia to kilka można znaleźć w zbiorze zadań Krysickiego i Włodarskiego

Mariusz: ABC: co do metod przybliżonych to na razie napisałem metody potęgowe Korzystając z programu obliczającego wartości i wektory własne odwrotną metodą potęgową z przesunięciem obliczyłem przybliżoną wartość pierwiastków równania które jakiś czas temu podałeś na innym forum x⁵−7x⁴+10x³−x²+3x−5=0 (Trzy pierwiastki rzeczywiste , jeden w otoczeniu jedynki ,drugi w otoczeniu dwójki, trzeci w otoczeniu piątki) Przedstawiłbyś rozkład QR macierzy metodą odbić Householdera bądź obrotów Givensa w sposób przydatny dla programisty bo przecież nie będę mnożył macierzy przez macierze odbić czy obrotów