bazy i macierze chudzielec: Dane są bazy w = {(1,1,1), (1,1,2), (2,1,1,)} w R³ oraz v = {(2,1), (1,1)} w R² Znajdź P(x,y,z) jeżeli macierz P w bazach w,v ma postać [ 2 1 −1] [ −1 1 1] Jak się w ogóle za to to zabrać?

chudzielec: Nie mnie samo gotowe rozwiązanie, tylko sposób w jaki się robi takie zadania

chudzielec: Nie interesuje mnie*

ABC: zacznij od rozłożenia (x,y,z) według pierwszej bazy i wpisz tu wynik, to powiem co dalej

chudzielec: @ABC (x+y+z) = (x+y+2z) = (2x+y+z) = ?

ABC: widzę że kiepsko z tobą (x,y,z)=α(1,1,1)+β(1,1,2)+γ(2,1,1) masz znaleźć α β γ czyli współrzędne wektora (x,y,z) w tej bazie

chudzielec: @ABC Nadrabiam kulturą osobistą Wyszło mi póki co coś takiego: α = 2y−z−x β = z−y γ = x−y

ABC: prawie dobrze , α=−x+3y−z . reszta dobrze teraz korzystasz z liniowości odzwzorowania : P(x,y,z)=αP(1,1,1)+βP(1,1,2)+γP(2,1,1) wiesz jak z twojej macierzy odzyskać te trzy wartości ?

chudzielec: Nie. Przydałaby się mała wskazówka

ABC: czym są kolumny tej macierzy?

chudzielec: @ABC Współczynnikami wektorów z bazy v?

chudzielec: albo w

chudzielec: współczynnikami kombinacji liniowej wektorów tworzących bazę v lub w

ABC: nie , to są współrzędne obrazów wektorów pierwszej bazy względem drugiej bazy P(1,1,1)=2(2,1)+(−1)(1,1) i analogicznie pozostałe kolumny po tej obserwacji to właściwie koniec zadania

chudzielec: Dlaczego tak jest? To wynika bezpośrednio z definicji?

ABC: zależy jakie masz definicje, to co w jednym książkach jest definicją w drugiej twierdzeniem, ale można przyjąć taką definicję macierzy przekształcenia

chudzielec: @ABC P(1,1,1) = 2(2,1) + (−1)(1,1) Czyli P(w1) = 2v1 − v2 No ale przecież w jest bazą w R³, a v w R² Jak to jest możliwe, że wektor trzywymiarowy opisuję za pomocą wektorów dwuwymiarowych? To jest dla mnie nielogiczne i nieintuicyjne.

chudzielec: Chociaż, P będzie funkcją odwzorowania liniowego, które coś takiego mi umożliwia? A (x,y,z) będzie przepisem tej funkcji zmieniającym trzy przepisy w dwa?

ABC: upada k...a szkolnictwo w tym kraju że ci takich rzeczy na wykładzie nie tłumaczą

chudzielec: @ABC Wykład (zdalny) z Algebry polega na czytaniu pdfa napisanego w niezrozumiałym dla osoby niemającej dotychczas styczności z danym tematem języku (brak analogii i przykładów, podana czysta teoria, definicje)) Próbuję radzić sobie sam, z youtubem, khan academy i zadaniami z ćwiczeń na teamsach. Liczę, że to forum również będzie pewnym środkiem pomocy dydaktycznej. Nie ma co się oburzać. To bezproduktywne. Jakby wszyscy wszystko zrozumiale tłumaczyli, to takie forum nie byłoby nikomu potrzebne.

ABC: ale sam też możesz pomyśleć ? piszesz mi "wektor trzywymiarowy opisuję za pomocą wektorów dwuwymiarowych" a tymczasem opisujesz już nie wyjściowy wektor, tylko jego obraz w tym odwzorowaniu liniowym. A obraz trafił do przestrzeni dwuwymiarowej! Jakieś ćwiczenia online przez teamsy czy coś w tym stylu masz?

chudzielec: @ABC Oczywiście, że mogę pomyśleć. Cały sens nauki matematyki opiera się na rozwijaniu myślenia. Weź tylko pod uwagę, że to, że dla ciebie coś jest logiczne i klarowne, niekoniecznie musi takie być dla osoby dopiero co poznającej pierwsze studyjne zagadnienia algebry. To według mnie największy problem w edukacji − nauczający nierzadko tłumaczą treść dla samych siebie, pod nosem. Uważają, że skoro oni rozumieją to, co tłumaczą, to inni też. To wynika z nieumiejętności postawienia się w czyimś położeniu i zrozumienia jak świat wygląda z tej drugiej strony. Krócej mówiąc, wół zapomina jak to cielęciem być. Rzecz jasna, masz rację, (x,y,z) nie byłoby przepisem ułożenia współrzędnych wektora trójwymiarowego we współrzędne wektora dwuwmiarowego, tylko na odwrót. Pomyłka. Tak jak wspomniałem w poprzednim poście, mam ćwiczenia przez teamsy. To zadanie właśnie z nich pochodzi.

ABC: studia to ma być samodzielna przygoda intelektualna tego się trzymaj tu masz ode mnie taki skrypt z tłumaczonymi zadankami z elementarnej algebry i geometrii na studiach, może ci się przyda do czegoś https://megawrzuta.pl/download/444709d32410a6eeccc9835d4b26090a.html

chudzielec: P(w1) = (3,1) P(w2) = (3,2) P(w3) = (−1,0) P(x,y,z) = α(3,1) + β(3,2) + γ(−1,0) = (−x+3y−z)(3,1) + (z−y)(3,2) + (x−y)(−1,0) = (−4x+7y−3z, −x+2y+z)

chudzielec: Dziękuję, będę tam zaglądał w przyszłości jeśli okaże się pomocne