analiza
analiza: Zbadaj monotoniczność ciągu danego wzorem rekurencyjnym a
1 =
√2, a
n =
√2+an.
| | 2+an − an2 | |
Obliczyłam już różnicę an+1 − an = ... = |
| . Jak z tego |
| | √2+an+an | |
pokazać, że ciąg jest rzeczywiście monotoniczny?
19 lis 13:51
jc: Dla wygody przyjmij a
0 = 0, wtedy a
1=
√2 i a
0<a
1.
Krok indukcyjny. Jeśli a
n−1 < a
n, to
2+a
−1 < 2 + a
n,
√2+an−1 <
√2+an
czyli
a
n < a
n+1
19 lis 14:39
analiza: Hm, a nie da się inaczej? Tzn. na zajęciach zrozumiałam do tego kroku, o którym napisałam w
poleceniu. Potem prowadzący zapisał, że 2+an−an2 > 0 i √2+an + an > 0, zatem cały
ułamek jest > 0. Zastanawia mnie tylko, skąd wzięło się to, że licznik i mianownik są > 0.
19 lis 14:44
jc: Licznik = 2 + an − an2 = (2−an)(1+an) > 0 bo an > √2 i an < 2.
Skąd ta druga nierówność?
a1 < 2, Jeśli an < 2, to 2+an < 4 i an+1 = √2+an < √4=2.
19 lis 15:00