dowód kasia0948: Wykazać, że w dowolnym trójkącie stosunek promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu

	1
opisanego nie przekracza		.
	2

Mogłabym prosić jeszcze tylko o podpowiedź w tym zadanku?

Eta:

	abc		2P
R=		i r=
	4P		a+b+c

r		8P2		8P2		3a4
	=		≤		=		=1/2
R		abc(a+b+c)		a3*3a		2*3a4

dla a=b=c P=a²√3/4

Eta:

	r
Dla Δ równobocznego :		=1/2
	R

	r
dla Δ prostokątnego :		= √2−1 < 1/2
	R

chichi: @Eta A co dla Δ różnobocznego?

Eta: ≤1/2 dla wszystkich bo max =1/2 dla równobocznego

chichi:

	r		r		r		r
tan(α)=		⇒ x=		, tan(β)=		⇒ y=
	x		tan(α)		y		tan(β)

	r		r		c
x+y=c ⇒ c=		+		⇒ r=
	tan(α)		tan(β)		tan(α)+tan(β)   tan(α)tan(β)

	1		sin(α+β)		cos(α)cos(β)
[tan(α)+tan(β)]*		=		*		=
	tan(α)tan(β)		cos(α)cos(β)		sin(α)sin(β)

	sin(α+β)		c*sin(α)sin(β)		c
=		⇒ r=		, R=		, zatem:
	sin(α)sin(β)		sin(α+β)		2sin(2γ)

r		c*sin(α)sin(β)		2sin(2γ)		4sin(α)sin(β)sin(γ)cos(γ)
	=		*		=
R		sin(α+β)		c		sin(α+β)

180°=2α+2β+2γ ⇒ γ=90°−(α+β) cos(γ)=cos[90°−(α+β)]=sin(α+β), zatem:

r		θ		a
	=4sin(α)sin(β)sin(γ), korzystając z nierówności sin(		)≤		mamy:
R		2		2√bc

r

b

a

c

abc

abc

1

≤4*

*

*

=4*

=4*

=

R

2√ac

2√bc

2√ab

8√a2b2c2

8abc

2

Q.E.D.

chichi: Tutaj link do rysunku, na którym bazowałem: https://imgur.com/jTSmMJC Swoją drogą z jakiego to podręcznika takie ciekawe zadanie?

Eta: Można też tak:

	abc		r(a+b+c)
P=		i P=		i a=2Rsinα , b=2Rsinβ, c=2Rsinγ
	4R		2

to P=2R²sinαsinβsinγ i P=rR(sinα+sinβ+sinγ)

r		2sinαsinβsinγ
	=
R		sinα+sinβ+sinγ

dla kątów trójkąta zachodzi : sinα+sinβ+sinγ=4cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2) ( można wykazać ) i sinα=2sin(α/2)*cos(α/2) i analogicznie sinβ= ... i sinγ=... po przekształceniu otrzymamy:

r		a		b		c
	= 4sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) ≤ 4*		*		*		=...=1/2
R		2√bc		2√ac		2√ab

c.n.w.

chichi: @Eta Super , u mnie trochę więcej przekształceń, ale ostatecznie dochodzimy do tego samego. Widzę, że z nierówności, którą podałem korzystasz w 2 rozwiązaniu

Eta:

kasia0948: Jeju nie wiem co powiedzieć, dziękuję ślicznie Eta oraz chichi. Nie wiem niestety z jakiego zbioru sa te zadania, nauczycielka nam je wysyła jeszcze raz wam dziękuję

Mila: W której jesteś klasie?

kasia0948: Mila II klasa po klasie VIII. podstawowej, a czemu Pani pyta, jeśli można wiedzieć?

kasia0948: Ogólnie moją nauczycielką od matematyki jest Pani, która przygotowuje olimpijczyków, ja nie radzę sobie najgorzej z matematyką, również nie potrzebuje korepetycji jeżeli chodzi o arkusze maturalne, ale Pani nam zadaje takie zadania na podstawie, że byłam zmuszona wziąć korepetycje, bo np. nigdy nie znałam czegoś takiego jak tw. Sinusów, a pokazano mi je dopiero na korepetycjach, mimo iż ciężko czasami było dojść do rozwiązania bez tych twierdzeń.. etc. P.S. Nie mam matematyki rozszerzonej, a chemię i biologię...

Marcysia: Biologiaaaa mmmm, królowa nauk

kasia0948: Marcysia, zrozum, że nie każdy potrafi rozumieć matematykę tak samo jak ty, moją pasją jest biologia i chemia, aczkolwiek matematykę bardzo lubię, staram si/ ją zrozumieć, ale takie "gadanie" jak twoje tylko mnie zniechęca.

6latek: Kasia 0948 nie przejmuj sie ttym co pisze Marcysia To jest jego opinia . Ty masz sie zdrowo odzywiac i nie pomijac posilkow . Wzory ktore podala Pani Eta na poczatku dotycza kazdego trojkata . Piszesz ze twoja Pani uczy olimpijczykow .No ale musi tez zwracac na was uwage (tych co jestescie na podstawie ) tak mi sie wydaje . Mozesz tez rozejrzec sie za ksiazka ZETEL GEOMETRIA TROJKATA. Co prawda kiedys na allegro szaleli bo wolali za nia 150zl ale gdzies widzialem za 50 zl .Moze teraz znajdziesz taniej Tam masz takie problemy rozwiazane .

kasia0948: Dziękuję 6latek 195zł sprawdzałam przed chwilą, ale udało mi się znaleźć w pdfie

6latek: To jest czyste szalenstwo Mam go tez w pdf . Wypozyczylem z biblioteki i zrobilem sobie skany . Kolega nauczyl mnie robic ze skanow pdf. Powodzenia

Mila: Kasiu , pytam dlatego, że inaczej można rozwiązać w II klasie, a inaczej w III. Dla Ciebie polecam sposób z godziny 13:03, bo te wzory masz w II klasie , chociaż nie wiem, czy już miałaś.

Mila: W każdym bądź razie, myślę, dasz sobie radę bez korepetycji. Wpadaj na forum z problemami i przypominaj że jesteś w II klasie, aby ktoś nie zapędził się i obliczył pole za pomocą całki.