zadanko jaros: Posługując się twierdzeniem o trzech ciągach proszę wyznaczyć granice poniższych ciągów: d) a_n = ∑ⁿ _k=1 a^k dla |𝑎|<1.

jc:

	a(1−an)
a+a2+a3+...+an =
	1−a

jc:

	a
an →
	1−a

Do czego chcesz zastosować twierdzenie? do aⁿ?

jaros: https://zapodaj.net/3ff52e3d76f8e.png.html Tutaj ma Pan polecenie

jc: Czy potrafisz udowodnić, że jeśli |a|<1, to aⁿ →0? Czy możesz skorzystać z tego faktu? Co z pozostałymi przykładami?

jaros: No prawdę mówiąc to nie potrafię tego zrobić, myślałem, że ktoś tutaj ten przykład rozwiąże a pozostałe zrobię jakos analogicznie

jc: Jeśli a=0, to aⁿ = 0 →0.

	1
Załóżmy, że 0<a<1. Wtedy		= 1+ k, k>0.
	a

(1+k)ⁿ ≥ nk

	1		1
0 < an =		<		→ 0
	(1+k)n		nk

Ujemne a można było uwzględnić wpisując moduł.

jaros: primo, skąd Pan wziął (1+k)ⁿ ≥ nk?

jc:

	n 0		n 1		n 2		n n
(1+k)n =		+		k +		k2 + ... +		kn

Jeśli k≥0, to każdy wyraz jest nieujemny i dlatego na przykład

	n 1
(1+k)n ≥		k=nk

	n 3		n(n−1)(n−2)
Zauważ, że np. (1+k)n ≥		=		k3,
			6

	8*6*n2
a stąd np. 0 ≤ n2 (2/3)n ≤		→0,
	n(n−1)(n−2)

a więc n² (2/3)ⁿ →0 (k=1/2).

jaros: A skąd tutaj wiemy, że korzystamy z dwumianu newtona?

jc: Jesteśmy genialni... Przeczytaliśmy w książce do analizy ... Usłyszeliśmy na wykładzie ... Zobaczyliśmy na forum, w Wiki, ...