dowód metryka: Jak pokazać, że w przestrzeni metrycznej (X, d) definicja nr 1 punktu skupienia implikuje definicję nr 2? Nr 1: x₀ jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje a ∊ A takie, że 0 < d(a, x₀) < ε Nr 2: x₀ jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg a_n ∊ A taki, że a_n ≠ x₀ dla każdego n oraz lim a_n = x₀ Myślałem na początku o tym, że skoro mamy 0 < d(a, x₀), to oznacza, że a ≠ x₀ dla każdego a ∊ A spełniającego warunek nr 1. Tylko to wciąż mi nic nie daje Niby mógłbym wziąć jakiś ciąg zbieżny do x₀ i próbować pokazać, że należy on do A, tylko ani nie mam pewności, że taki istnieje (bo skąd?), ani nie mam pomysłu jak się takie cuda konstruuje. W drugą stronę było znacznie łatwiej Będę wdzięczny za wskazówki

ABC: jedziesz kulami ciągiem malejących promieni, standard, porządny ćwiczeniowiec by ci pokazał tą przydatną technikę

jc: (2)⇒(1) Załóżmy, że istnieje ciąg x_n o wyrazach różnych od x₀, zbieżny do x₀. Wtedy dla każdego ε>0, znajdziemy m, takie, że dla n≥m, d(x_n,z₀)<ε, a faktycznie wystarczy nam jeden taki element. (1)⇒(2) Dla każdego n, znajdziemy x_n takie, że 0<d(x₀,x_n)<1/n. Ciąg x_n spełnia warunki (2): x_n ≠x₀, x_n→x₀.

metryka: Z (2) ⇒ (1) mam dokładnie tak samo Rozumiem o co chodzi z (1) ⇒ (2). Skoro mamy powyższy warunek, to znaczy, że kula o środku w x₀ i dowolnie małym promieniu będzie w sobie zawierała jakiś element a ∊ A i to będzie nasz szukany ciąg