wzór na sumę hela: 1^k + 2^k + ... + n^k = chodzi mi o taką skróconą jak dla 1+2+...+n = n(n+1)/2

ABC: to już jest poważna matematyka , o liczbach Bernoulliego słyszałaś?

ABC: na początek polecam ci z tym się zapoznać: https://matematyka.poznan.pl/artykul/o-pewnych-metodach-sumowania-poteg-kolejnych-liczb-naturalnych/

Mariusz: s₀=0 s_n=s_n−1+n^k S(x)=∑_n=0^∞s_nxⁿ ∑_n=1^∞s_nxⁿ=∑_n=1^∞s_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(n^k)xⁿ ∑_n=1^∞s_nxⁿ=x(∑_n=1^∞s_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=1^∞(n^k)xⁿ ∑_n=0^∞s_nxⁿ−s₀=x(∑_n=0^∞s_nxⁿ)+∑_n=0^∞(n^k)xⁿ−0 S(x)=xS(x)+∑_n=0^∞(n^k)xⁿ S(x)−xS(x)=∑_n=0^∞(n^k)xⁿ S(x)(1−x)=∑_n=0^∞(n^k)xⁿ Teraz zobacz co się stanie gdy zróżniczkujesz k krotnie szereg geometryczny

1
	=∑n=0∞qnxn
1−qx

d		1		d
	(		)=		(∑n=0∞qnxn)
dx		1−qx		dx

−1
	*(−q)=∑n=0∞nqnxn−1
(1−qx)2

q
	=∑n=1∞nqnxn−1
(1−qx)2

q
	=∑n=0∞(n+1)qn+1xn
(1−qx)2

1
	=∑n=0∞(n+1)qnxn
(1−qx)2

d		1		d
	(		)=		(∑n=0∞(n+1)qnxn)
dx		(1−qx)2		dx

−2
	*(−q)=∑n=0∞n(n+1)qnxn−1
(1−qx)3

2q
	=∑n=1∞n(n+1)qnxn−1
(1−qx)3

2q
	=∑n=0∞(n+1)(n+2)qn+1xn
(1−qx)3

2
	=∑n=0∞(n+1)(n+2)qnxn
(1−qx)3

d		2		d
	(		)=		(∑n=0∞(n+1)(n+2)qnxn)
dx		(1−qx)3		dx

2*(−3)
	*(−q)=∑n=0∞n(n+1)(n+2)qnxn−1
(1−qx)4

2*3*q
	=∑n=1∞n(n+1)(n+2)qnxn−1
(1−qx)4

2*3*q
	=∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)qn+1xn
(1−qx)4

2*3
	=∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)qnxn
(1−qx)4

d		2*3		d
	(		)=		(∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)qnxn)
dx		(1−qx)4		dx

2*3*(−4)
	*(−q)=∑n=0∞n(n+1)(n+2)(n+3)qnxn−1
(1−qx)5

2*3*4*q
	=∑n=1∞n(n+1)(n+2)(n+3)qnxn−1
(1−qx)5

2*3*4*q
	=∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)qn+1xn
(1−qx)5

2*3*4
	=∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)qnxn
(1−qx)5

Teraz już chyba widać że

k!
	=∑n=0∞∏m=1k(n+m)qnxn
(1−qx)k+1

I teraz przydałoby się wyrazić n^k za pomocą sumy iloczynów ∏_m=1^p(n+m) gdzie 0≤p≤k Możliwe że różnice dzielone Newtona pozwolą zapisać n^k za pomocą tych iloczynów ∏_m=1^p(n+m) Możesz też zajrzeć na ważniaka http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy

jc: Mariusz, mamy dyskretny wzór Taylora (z różnicami), mamy też wzór na różnice, W przypadku sumy k−tych potęg , k+2 różnice znikają. Wzór będzie zawierał podwójną sumę, liczba składników nie będzie zależała od n. Dla 3 potęg mamy: 0 1 9 3 ... 1 8 27 64 7 19 37 12 18 6

	n 1		n 2		n 3		n 4		n2(n+1)2
1+23+..+n3 =		+ 7		+ 12		+ 6		=
									4

a7: w linku str 23 dowód dla 3 potęg https://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materialy/Dowody_Kombinatoryczne.pdf a tutaj jeszcze dużo wiedzy na ten temat https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

jc: S_n = 1+2^k+3^k+...+n^k

	n m
Sn = ∑m=1k+1 am*		, wielomian stopnia k+1

	m−1 j
gdzie am = ∑j=0m−1		(−1)m−1−j (j+1)k

jc: lub tak

	n m
Sn = ∑m=1k+1 (m−1)! S(k+1,m)*

S(k,m) to liczby Stirlinga drugiego rodzaju.