kombinatoryka njuton: rozmieszczamy n kul w m pojemnikach jeśli kule są rozróżnialne, to jest mⁿ możliwości (jeżeli się nie mylę) a ile jest gdy kule nie są rozróżnialne?

kerajs: Jak widzę rozróżniasz pojemniki.

	n+m−1 m−1
Ilość rozmieszczeń w nich nierozróżnialnych kul to

njuton: no ok, tylko dlaczego tak?

kerajs: Załóżmy że chcę rozmieścić 6 kul w 3 rozróżnialnych pojemnikach tak, aby w każdym była co najmniej 1 kula. Ilość takich rozmieszczeń jest równoważna liczbie rozwiązań równania: x₁+x₂+x₃=6 w liczbach naturalnych dodatnich . Mogę wypisać rozwiązania podając trójki x₁,x₂,x₃: 4,1,1 3,2,1 3,1,2 2,3,1 2,2,2 2,1,3 1,4,1 1,3,2 1,2,3 1,1,4 i je zliczyć (jest ich 10) Inne podejście to liczbę 6 przedstawić jako sumę jedynek 1+1+1+1+1+1. Aby dostać dowolne rozwiązanie wystarczy dwa plusy zamienić na przecinki (np: 1,1+1,1+1+1 albo 1+1+1+1,1,1) Czyli ilość rozwiązań to ilość wyborów dwóch plusów (o jeden mniej niż niewiadomych) z pięciu

	5 2		6−1 3−1		5 2
(o jeden mniej niż znana suma).		=10 albo		=		=10

Ogólnie: Liczba rozwiązań równania: x₁+x₂+...+x_m=n gdzie n≥m w liczbach naturalnych dodatnich to:

	n−1 m−1

A co jeśli mam znaleźć liczbę rozwiązań równania: x₁+x₂+x₃=6 w liczbach naturalnych (zero uznaję za naturalne) ? Wtedy robiąc podstawienie: t₁=x₁+1 t₂=x₂+1 t₃=x₃+1 mam znaleźć liczbę rozwiązań równania: t₁−1+t₂−1+t₃−1=6 w liczbach naturalnych dodatnich. To

	6+3−1 3−1
jest już proste i z tekstu powyżej wiem że ilość ta to:		=28.

Ogólnie: Liczba rozwiązań równania: x₁+x₂+...+x_m=n w liczbach naturalnych (albo rozmieszczeń n

	n+m−1 n−1
takich samych kul w m różnych pudłach) to:

njuton: dzięki, przeanalizuję

kerajs: Widzę, że zrobiłem literówkę, Ostatnie zdanie powinno wyglądać tak: Ogólnie: Liczba rozwiązań równania: x₁+x₂+...+x_m=n w liczbach naturalnych (albo rozmieszczeń n

	n+m−1 m−1
takich samych kul w m różnych pudłach) to:		.