ciaglosc funkcji Monika: Czy istnieje funkcja ciągła z a) [0, 1] ∪ [2, 3] na [5, 6] i z [5, 6] b) R na (0,1) c) [0,1] na R W jaki sposób robić takie zadania? Potrafię badać ciągłość funkcji określonymi pewnymi wzorami, ale w tym przypadku nie ma ogólnego wzoru...

ABC: jaki poziom? matematyka uniwersytecka? bo nie wiem z czego mogę korzystać czy jak ci powiem przykładowo: podpunkt c−nie istnieje bo ciągły obraz zbioru zwartego musi być zwarty to coś zrozumiesz?

wredulus_pospolitus: a) nie

	1
b) tak (np. f(x) =		arcctgx)
	π

c) nie

wredulus_pospolitus: chociaż odnośnie (a) to byśmy musieli sprawdzić KTÓRĄ definicję ciągłości funkcji masz

Monika: Już niestety matematyka wyższa Moja definicja jest następująca: Funkcja f : D → R, D ⊂ R, jest ciągła w punkcie a ∈ D, gdy ∀{xn} ⊂ D, zachodzi implikacja: lim x_n = a ⇒ lim f(x_n) = f(a).

wredulus_pospolitus: no to (a) tak , (b) tak (podałem przykład) (c) nie

wredulus_pospolitus: (a) jeszcze raz napisz podpunkt bo coś 'nie ten teges' jest napisane

jc: (a) f(x)=x+2 dla x∊[0,1], f(x)=x+5 dla x∊[2,3] (ale nie wiadomo o co chodzi z tym "i z") (c) Funkcja ciągła na odcinku domkniętym jest ograniczona.

Monika: A wybaczcie, cos mi ucięło. W pierwszym chodziło jeszcze o: z [5, 6] na [0, 1] ∪ [2, 3] I dziękuję za wyjasnienie tych podpunktów.

jc: Druga część (a). Funkcja ciągła przyjmuje wartości pośrednie (twierdzenie Bolzano), a między 1 a 2 jest dziura.

ABC: inaczej mówiąc ciągły obraz zbioru spójnego musi być zbiorem spójnym

Adamm: a) f: [0, 1]∪[2, 3]→[5, 6] jest ciągła ⇔ f|_{[0, 1]} oraz f_{[2, 3]} są ciągłe Tutaj można wybrać choćby f(x) = x+5 dla x∊[0, 1], oraz f(x) = 5 dla x∊[2, 3]. f: [5, 6] → [0, 1]∪[2, 3] taka że f jest ciągła i "na" nie istnieje, bo wtedy doszlibyśmy do wniosku że [0, 1]∪[2, 3] jest spójne, a nie jest. Z podzbiorów R to tylko odcinki (mogą być nieskończone) są spójne. b) f:R → (0, 1) nie trzeba dużo myśleć, f(x) = ∫_−∞^x g(t)dt gdzie g to np. gęstość rozkładu Cauchy'ego,

	1
g(x) =		. Ważne tyle by g(x) > 0 oraz było ciągłe.
	π(1+x2)

c) f: [0, 1]→R to f([0, 1]) = [c, d] jest odcinkiem domkniętym (możliwe że c = d), bo to zwarty odcinek (a co za tym idzie, domknięty w R).