Całka Damian#UDM: Obliczyć całkę

	sin(x)
∫		dx
	cos2(x)+1

Próbowałem przez podstawienie, przez wyznaczenie cosinusa podwojonego kąta, niestety bez skutku Proszę o pomoc, bardziej o nakierowanie niż rozwiązanie

getin: Podstaw cos(x) = t, wówczas −sin(x)dx = dt więc sin(x)dx = −dt

ABC: a próbowałeś podstawienia cosx=t ?

Damian#UDM: sinx = t, a tego nie próbowałem, spróbuję

wredulus_pospolitus: po co sinx = t cosx = t

Damian#UDM: Obliczyć całkę ∫{x}{x⁴ + 4}dx Nie mam na to żadnego pomysłu, proszę o nakierowanie

ICSP: Podstawienie: x² = 2t w ogóle znasz wzory na pochodne i na podstawowe całki?

Damian#UDM:

	x
∫		dx
	x4 + 4

Damian#UDM: wredulus 17:37 napisałem, że próbowałem podstawienia sinx=t i nie wyszło, a teraz spróbuję cosx = t ICSP znam, niestety nie wpadłem na pomysł, jak tutaj podstawić, żeby u góry była pochodna dołu, dziękuję za nakierowanie

ICSP: bo tak nie podstawisz. Umiesz policzyć całkę z f(x) = x? Jeśli tak podstawienie nasuwa się natychmiast. Jeżeli nawet nie jesteś wstanie wpaść na 2t = x² to już na t = x² powinieneś wpaść. Dwa przykłady w tym temacie są praktycznie identyczne pod względem podstawienia.

Damian#UDM: Teraz widzę, że wyjdzie inny wzór

Damian#UDM: No właśnie zrobiłem t=x²

Damian#UDM:

	1		dt
I wychodzi ładnie		∫		dt, dalej oczywiście sobie poradzę, dziękuję za pomoc
	2		t2 + 22

Damian#UDM:

	dt
A z 04:36 wychodzi ładnie − ∫
	t2 +1

Damian#UDM: Obliczyć całkę

	x−1
∫		dx
	√x2 +4x − 7

Generalnie wiem chyba o co chodzi, moje pytanie brzmi, jak pozbyć się góry, żebym mógł skorzystać z podstawowych wzorów?

Damian#UDM: Po przekształceniu widzę to tak

	x−1
∫		dx
	√(x−2)2 − 11

ABC: nie lepiej rozpisać

	1
x−1=		(2x+4)−3 ?
	2

Damian#UDM: Okej, dziękuję za pomysł

Damian#UDM: Obliczyć całkę

	x2 − 3
∫		dx
	√x2 + 4x − 7

Myślę, żeby po działać tak :

	x2		dx
∫		dx −3∫
	√x2 + 4x − 7		√x2 + 4x − 7

Tylko co zrobić z tym

	x2
∫		dx?
	√x2 + 4x − 7

Damian#UDM: Ale wydaje mi się, że

x2 − 3		x2 + 4x − 7		2x + 8
	=		−2*		+
√x2 + 4x − 7		√x2 + 4x − 7		√x2 + 4x − 7

	1
20*
	√x2 + 4x − 7

tak będzie lepiej

jc: A mnie się wydaje, że lepiej poprosić komputer o wykonanie rachunku.

Damian#UDM: Nie nie, ja tylko proszę o nakierowanie jak to zrobić, a zadania chce sam rozwiązywać

Damian#UDM: I mam nadzieję, że o 00:17 dobrze wykminiłem

Mariusz: Damian

	x2−3
∫		dx
	√x2+4x−7

√x²+4x−7=t−x x²+4x−7=t²−2tx+x² 4x−7=t²−2tx 2tx+4x=t²+7 x(2t+4)=t²+7

	t2+7
x=
	2t+4

	2t2+4t−t2−7
t−x=
	2t+4

	t2+4t−7
√x2+4x−7=
	2t+4

	2t(2t+4)−2(t2+7)
dx=		dt
	(2t+4)2

	2t2+8t−14
dx=		dt
	(2t+4)2

	(t2+7)2		2t+4	2(t2+4t−7)
∫(		−3)
	(2t+4)2		t2+4t−7	(2t+4)2

	t4+14t2+49−3(2t+4)2	2
∫			dt
	(2t+4)2	2t+4

	t4+14t2+49−12(t2+4t+4)
2∫		dt
	(2t+4)3

	t4+2t2−48t+1
2∫		dt
	8(t+2)3

1		t4+2t2−48t+1
	∫		dt
4		(t+2)3

W(t)=t⁴+2t²−48t+1 W'(t)=4t³+4t−48 W''(t)=12t²+4 W'''(t)=24t W''''(t)=24 W(−2)=16+8+96+1=25+96=121 W'(−2)=−32−8−48=−88 W''(−2)=48+4=52 W'''(−2)=−48 W''''(−2)=24 (t+2)⁴−8(t+2)³+26(t+2)²−88(t+2)+121=t⁴+2t²−48t+1

1		t4+2t2−48t+1
	∫		dt=
4		(t+2)3

1		(t+2)4−8(t+2)3+26(t+2)2−88(t+2)+121
	∫		dt
4		(t+2)3

Mariusz: Jeśli chciałeś tę całkę liczyć jakoś po swojemu to patrzysz na pochodną tego trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem Pochodna to 2x+4 Wyciągasz dwójkę bo skróci ci się ona z pochodną pierwiastka

	x2		x(x+2)		2x
∫		dx=∫		dx−∫		dx
	√x2+4x−7		√x2+4x−7		√x2+4x−7

	x(x+2)
Teraz całkę ∫		dx
	√x2+4x−7

liczysz przez części

	x(x+2)
∫		dx=x√x2+4x−7−∫√x2+4x−7dx
	√x2+4x−7

	x2+4x−7
Teraz korzystasz z tego że √x2+4x−7=
	√x2+4x−7

i otrzymujesz

	x(x+2)		x2+4x−7
∫		dx=x√x2+4x−7−∫		dx
	√x2+4x−7		√x2+4x−7

	x(x+2)		x2+2x		2x−7
∫		dx=x√x2+4x−7−∫		dx−∫		dx
	√x2+4x−7		√x2+4x−7		√x2+4x−7

	x(x+2)		2x−7
2∫		dx=x√x2+4x−7−∫		dx
	√x2+4x−7		√x2+4x−7

	x(x+2)		1		1		2x−7
∫		dx=		x√x2+4x−7−		∫		dx
	√x2+4x−7		2		2		√x2+4x−7

	x2		1		1		2x−7		2x
∫		dx=		x√x2+4x−7−		∫		dx−∫		dx
	√x2+4x−7		2		2		√x2+4x−7		√x2+4x−7

	x2		1		1		2x−7+4x
∫		dx=		x√x2+4x−7−		∫		dx
	√x2+4x−7		2		2		√x2+4x−7

	x2		1		1		6x−7
∫		dx=		x√x2+4x−7−		∫		dx
	√x2+4x−7		2		2		√x2+4x−7

	x2		1		1		6(x+2)−19
∫		dx=		x√x2+4x−7−		∫		dx
	√x2+4x−7		2		2		√x2+4x−7

	x2		1		x+2		19		dx
∫		dx=		x√x2+4x−7−3∫		dx+		∫
	√x2+4x−7		2		√x2+4x−7		2		√x2+4x−7

	x2		1		19		dx
∫		dx=		(x−6)√x2+4x−7+		∫
	√x2+4x−7		2		2		√x2+4x−7

Damian#UDM: Super, bardzo dziękuję Mariuszu za pomoc widzę, że jeszcze wiele przede mną

Damian#UDM: Obliczyć całkę

	dx
∫
	cos4x

Proszę o nakierowanie, nie mam pomysłu

Jerzy:

	1		1
= ∫		*		dx i podstawienie t = tgx
	cos2x		cos2x

Jerzy: Finalnie dojdziesz do ∫(t² + 1)dt , a to już banał.

Damian#UDM: Obliczyć całkę

	dx
∫
	x(1+ln2x)

Proszę o pomoc i nakierowanie kochani Próbowałem przez części i przez podstawienie, lecz nic mi nie wyszło

Damian#UDM: Jerzy dziękuję za sugestię, zaraz się za to zabieram

mary:

1
	=1+tg2x
cos2x

Damian#UDM: Udało się rozwiązać całkę z 11lis 15:50, dziękuję Jerzy

Damian#UDM: mary to w odniesieniu to całki z 13 lis 00:59?

mary: z 15:50

Szkolniak: Próbowałeś z podstawieniem u=ln(x)?

Damian#UDM: W tej całce podstawienie lnx=t załatwiło jednak sprawę, dziękuję za pomoc!

Damian#UDM: Właśnie Szkolniak przed chwilą spróbowałem i udało się dziękuję za sugestię

a7:

	1		dx		1
∫		*		= |t=lnx dt=dx/x|=∫		dt=arctg(t)+c=....
	1+ln2		x		1+t2

Szkolniak: No i pięknie

Mariusz: Co do całek postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx gdzie R(x,y) − funkcja wymierna dwóch zmiennych zadziała podstawienie cos(x)=(1−sin(x))t cos²(x)=(1−sin(x))²t² 1−sin²(x)=(1−sin(x))²t² (1−sin(x))(1+sin(x))=(1−sin(x))²t² 1+sin(x)=(1−sin(x))t² 1+sin(x)=t²−t²sin(x) sin(x)+t²sin(x)=t²−1 sin(x)(t²+1)=t²−1

	t2−1
sin(x)=
	t2+1

	t2−1
cos(x)=(1−		)t
	t2+1

	t2+1−t2+1
cos(x)=(		)t
	t2+1

	2t
cos(x)=
	t2+1

	2t(t2+1)−2t(t2−1)
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

	2t((t2+1)−(t2−1))
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

	2t	2
cos(x)dx=			dt
	t2+1	t2+1

2t		2t	2
	dx=			dt
t2+1		t2+1	t2+1

	2
dx=		dt
	t2+1

Masz zatem całkę

	2t		t2−1		2
∫R(		,		)		dt
	t2+1		t2+1		t2+1

a to jest całka z funkcji wymiernej Jeśli chodzi o całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx to działają na nie podstawienia √ax²+bx+c=t−√ax , gdy a > 0 Tutaj √a możesz wziąć zarówno z plusem jak i z minusem √ax²+bx+c=xt−√c , gdy c > 0 Tutaj √c możesz wziąć zarówno z plusem jak i z minusem √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t , gdy b²−4ac > 0 Tutaj możesz także wziąć ten drugi pierwiastek trójmianu kwadratowego Jak widzisz w tym trzecim podstawieniu zanim przystąpisz do podstawiania wygodnie jest zapisać trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej Damian czy przećwiczyłeś już całkowanie funkcyj wymiernych ?

Damian#UDM: Mariuszu generalnie ostatnio liczyłem trochę całek i ćwiczyłem też całki wymierne Z grubsza chodzi tam o to, żeby porozbijać trudny ułamek na ułamki prostsze, żeby skorzystać z podstawowych wzorów na całki I jeszcze raz dziękuję za nowe informacje i sposoby rozwiązywania zadań Wszystkie moje linki z tej strony zapisuje sobie w jednym pliku, dzięki czemu będę mógł do tego zawsze wrócić A do liczenia całek niedługo wrócę, najpierw obronię pracę dyplomową z dietetyki i wtedy będzie z pewnością więcej czasu na takie rzeczy

Mariusz: Jak masz dostęp do jakiejś biblioteki to zajrzyj do podręcznika G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy albo do podręcznika F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych Gdy ja kończyłem liceum to te podręczniki polecali na pierwszy rok studiów Z darmowych książek elektronicznych możesz sobie przejrzeć http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/rachunek.html