Okrąg wpisany w trójkąt równoramienny ktosiek: W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg o promieniu 3 cm. Odcinek EF styczny do tego okręgu jest równoległy do podstawy AB. Wiedząc, że P_ABFE = 15 * P_EFC oblicz: a) obwód trójkąta EFC b) pole trójkąta ABC c) wysokość CD trójkąta ABC d) długość podstawy AB.

chichi: 1) Podobieństwo 2) G punkt styczności okręgu z ramieniem AC, H punkt styczności okręgu z ramieniem BC, punkt I środek EF 3) |EG|=|EI|=|IF|=|FH| 4) |GA|=|AD|=|DB|=|HB| 5) |AE|+|FB|=|AB|+|EF| (okrąg wpisany w czworokąt) 6) od środka okręgu można poprowadzic promienie do punktów G i H, wtedy kąty AGO i BHO będą miały po 90 stopni Myślę, że tyle powinno wystarczyć do rozwiązania (nie musisz korzystać ze wszystkiego). Nie będę odbierał Ci tego piękna geometrii, teraz się baw

chichi: No i plus to co masz podane w poleceniu

a7:

	2a+2b
(1)PABEF=15*PEFC		*6=15*1/2*2b*h⇒ h=2/5(a+b)
	2

(2) w trójkącie narysowanym na czerwono (a−b)²+6²=(a+b)² ⇒4ab=36 ab=9 a=9/b b=9/a

	h		b		54
(3) z podobieństwa trójkątow CSF i CDB		=		⇒ h=
	h+6		a		a2−9

przyrównujemy h

	a2+9		54
h=2/5 (		)=		⇒ a=3√216=6
	a		a2−9

b=9/a=9/6=3/2 h=2/5(a+b)=2/5*15/2=3 CD=h+6=3+6=9 AB=2a=12 EF=2b=3 a)O=b+h+2c = 3+2*11,25=25,5 (c liczymy z tw. Pitagorasa dla trójkąta CSF) b)P=54 c)CD=9 d)AB=12

a7: a) w a) chochlik

a7: źle obliczone a przy porównywaniu h

Mila: Można tak, ale są inne sposoby. 1) P_ΔABC=16P

	1		1
ΔEFC∼ΔABC w skali k=		=
	√16		4

2) |EF|=2e |AB|=8e Punkty styczności są jednakowo odległe od wierzchołków kątów W prostokątnym ΔBOF:

	3
r2=e*4e ⇔9=4e2⇔ e=
	2

	3
|AB|=8*		=12
	2

	1
|EF|=		*12=3m
	4

3) Z podobieństwa w (1)

x		1		3
	=		⇔4x=x+5*
x+5e		4		2

	5
x=		cm
	2

	3		5
4) obwΔEFC=2*		+2*		=8cm
	2		2

obw_ΔEFC=8cm Obw._ΔABC=4*8=32cm 5)

	32
PΔABC=p*r=		*3
	2

P_ΔABC=48cm² 16P=48 P=3cm²=P_ΔEFC⇔

	1
3cm2=		*3*he
	2

h_e=2 |CD|=4*2=8cm

Mila: O! I kto ma błąd w rachunkach?

Eta: Mila ok

Eta: ΔABC: 10,10,12 |DC|=8 , L=32 , P=48 ΔEFC : podobny w skali k=1/4 to L=32*1/4=8

Mila: Dzięki Eta

a7: ja mam kilka błędów w rachunkach : (

Eta: Ja liczyłam tak: P(ABEF)=15P(EFC) to P(ABC)= 16P(EFC) Skala podob. ΔABC i EFC : k²=16 ⇒ k=4 to w=2, |CD|=8 W ΔBOF : 4a²=9 ⇒ a=3/2 |AB|=8a= 12 b=|BC|= 10 P(ABC)=48 L(ABC)=32 to L(EFC)= 32/4 =8

adriana: Witam, przepraszam za odgrzewanie kotleta, ale nie mogę wpaść na to, dlaczego a*4a=9? skąd taka zależność?

mam pytanie:

a		3
	=		podobieństwo trójkątów prostokątnych w trójkącie BOF (uzyskanych przez
3		4a

poprowadzenie wysokości o dł 3)

6latek: jest taka zależnosc w trojkącie prostokątnym wysokosc h =|OD|=√|BD|*|DF| jest srednia geometryczna tych odcinkow h=√a*b h²=a*b tutaj masz h=3 i dlugosci odcinkow na jakie ta wysokosc dzieli podstawe czyli a i 4a stad masz 9=a*4a=4a² Pytanie tylko czy wiesz dlaczego ten trojkat BOF jest prostokatny ?

adriana: dziękuję. 1) skąd wiemy, że te trójkąty prostokątne są podobne? 2) nie wiem dlaczego BOF jest prostokątny

6latek: Nr 1 na podstawie cechy K−K−K Nr 2 Patrz rysunek Ety mamy czworokąt ABFE Mozna w niego wpisac okrąg Srodek okregu wpisanego w czworokat lezy na przecieciu sie dwusiecznych kątów Kąt ABF i kąt EFB to kąty przyległe a dwusieczne kątów przyległych przecinają sie pod kątem prostym Stąd kąt FOB jest kątem prostym i ΔFOB jest Δ prostokątnym . Pamiętaj o tym to sie przydaje w zadaniach

adriana: dziękuję!