Czy struktura jest grupą algebraiczną? tomek: Dany jest zbiór D={2^k:k∈Z}. Sprawdź, że struktura (D,∘), gdzie a∘b:=a⋅b2 jest grupą. Czy struktura ta byłaby grupą, gdyby D={(−2)^k:k∈Z}? mam problem z określeniem elementu symetrycznego i z drugą częścią zadania

Maciess: a∘b=ab² ? Czy po prostu podwojony iloczyn?

tomek: o jezu przepraszam tam miało być a∘b:=^a⋅b₂

Adamm: f(k) = 2^k+1 f(k₁) o f(k₂) = 2^{k₁+1+k₂+1−1} = 2^k₁+k₁+1 = f(k₁+k₂) Więc f:(Z, +) → (D, o) jest izomorfizmem elementem neutralnym w D jest f(0) = 2, oraz elementem odwrotnym do 2^k = f(k−1) jest f(1−k) = 2^2−k.

Adamm: Druga część zadania (−2) o (−2) = 2 ale 2 nie jest postaci (−2)^k dla pewnego k

znak: Inaczej: a o a⁻¹ = e = a⁻¹ o a

	2k*a−1		22
a o a−1 =		= 2 ⇔ a−1 =		⇔ a−1 = 22 − k
	2		2k

Metoda Adamma, choć ładna, zapewne daje więcej pytań autorowi wątku niż odpowiedzi

Adamm: Można sobie zadać następujące pytanie do drugiej części zadania. Czy da się rozszerzyć o do operacji na zbiorze D = {(−1)^k 2^l : k, l∊Z}? No więc (−1)^k₁ 2^l₁ o (−1)^k₂ 2^l₂ = (−1)^k₁+k₂ 2^{l₁+l₂−1} ∊ D Zdefiniujmy f(k, l) = (−1)^k 2^l+1, f:Z₂ x Z → D Wtedy f(k₁, l₁) o f(k₂, l₂) = (−1)^k₁+k₂ 2^l₁+l₂+1 = f(k₁ +₂ k₂, l₁+l₂) Więc f jest izomorfizmem a nasza grupa jest izomorficzna z Z₂ x Z.

tomek: dziękuje za odpowiedź, musze to przeanalizować na spokojnie, ja sprawdzałem czy struktura jest grupą sprawdzając czy działanie jest wewnętrzne, łączne istnieje element neutralny i czy kazdy element ma element symetryczny. Czy drugą część tego zadania można by zrobić jeszcze w ten sposób, że, wiemu już, że pierwsza struktura jest grupą, robimy odwzorowanie w drugą strukturę, jeśli nie będzie to izomorfizm tzn, że druga struktura nie jest grupą?

znak: Przecież Adamm Ci pokazał w wpisie o 17:39, że to nie będzie grupa. Wziął element (−2) i pokazał, że (−2) o (−2) nie należy do tego zbioru, a więc zbiór nie jest zamknięty na działanie. Stąd nie jest grupą z tym działaniem.

tomek: ok dziękuje : )