nierówność Studenciak:

	1		1
Sprawdzić czy nierówność ln(		+ 1) <		jest prawdziwa w przedziale x ∊ (0,
	x		√x2 + x

+∞) domyślam się że trzeba rozpatrzeć 2 funkcje i policzyć pochodne ale co potem? pomoże ktoś?

wredulus_pospolitus: a po co dwie ... można jedną ... sprawdzaj jej monotoniczność i określasz wartość w ekstremum

Studenciak: rozpatrzyłem tą jedną, policzyłem pochodną, przyrównałem do zera i wyszła sprzeczność 1=0 i co teraz?

wredulus_pospolitus: pokaż obliczenia

Studenciak: czyli 1>0 więc funkcja jest rosnąca dla x > 0 i nie ma rozwiązań czyli cała funkcja w tym przedziale jest mniejsza od zera czyli nierownosc jest prawdziwa? Można tak stwierdzic?

Studenciak: sekunda

Studenciak:

	−2√x2 + x + 2x + 1
f'(x) =
	(2x + 2x2) * √x2 + x

f'(x) = 0 ↔ 2x + 1 = 2√x² + x // ()² , x > 0 1 = 0 pochodna jest na 99% dobrze policzona

Studenciak: a nawet bym powiedzial ze na 100

wredulus_pospolitus: ale to jest pochodna z jakiej funkcji

Studenciak: f(x) = ln(1/x + 1) − 1/√x² + x

wredulus_pospolitus:

	x		−1		2x+1
f' =		*		+
	x+1		(x+1)2		2√x2+x

no to ździebko inaczej wygląda pochodna (nawet po sprowadzenia do tego samego mianownika)

Studenciak: jestes pewien ze tak wyglada? na wolfram alpha mi pokazywalo tą moją

Studenciak: poczekaj chwile

wredulus_pospolitus: a faktycznie:

x		−1
	*		winno być
x+1		x2

Studenciak: sam sie juz w tym pogubilem

wredulus_pospolitus: to może tak ln(1/x + 1) = ln( (x+1)/x) = ln(x+1) − lnx

	1		1		2x+1
f'(x) =		−		+
	x+1		x		2√x√x+1

Studenciak: ale mi wyszedl smietnik algebraiczny masakra

Studenciak: czyli jak mi wyszło 1>0 w pochodnej i że nie ma funkcja miejsc zerowych i jest ciągle rosnąca w tym przedziale i że dla x=1 nierówność jest spełniona to czy to wystarczy do udowodnienia?

jc: h(u)=u − 1/u −2 ln u, u ≥ 1 h(1)=0 h'(u) = 1 +1/u² − 2/u = (1−1/u)² > 0 dla u > 1 h jest rosnąca u(u) > h(1) dla u > 1 Teraz wystarczy podstawić u = √1+1/x

Studenciak: dziekuje