Granica juliasd: lim n*sin(nⁿ)+3 *n! /9*n! + 2 n→∞

wredulus_pospolitus: zapisz to PORZĄDNIE

juliasd:

	n*sin(nn)+3 *n!
lim
	9*n! + 2

n→∞

wredulus_pospolitus: z tw. i 3 ciągach:

n*(−1) + 3*n!		n*1 + 3*n!
	≤ an ≤
9*n! +n		9*n!

juliasd: a jak wyliczyć do czego zmierza? nie ogarnam ciągów z !?

wredulus_pospolitus: n! = 1*2*3*...*(n−1)*n > n albo jak wolisz:

n
	−−> 0
n!

juliasd: z tego 2 moge wywniosokować ze zawsze jak jest coś mianowniku ! to całość bedzie dążyła do zera?

wredulus_pospolitus: co

n + 3 * n!		n/(n!) + 3		3		1
	=		−−−>		=
9 * n!		9		9		3

juliasd: aaa ok ! jaki jest sposób na roz tego z !? musze dojsc do tego aby w którymś momencie to mi się skróciło?

wredulus_pospolitus: n! = 1*2*...*(n−1)*n > (n−1)*n to w sumie wystarczy do tego aby wykazać, że

n		n
	<		−−−> 0
n!		(n−1)*n

wredulus_pospolitus: 'ten z !' to jest silnia n

wredulus_pospolitus: nierówność z 12:23 oczywiście jest spełniona tylko dla większych n bo dla np. n = 2 n! = 2! = 1*2 = 2

juliasd: dziękuje ślicznie

juliasd: czyli w tym przykładzie

	(3n +2)*sin(n!)
lim
	nn+1

n→∞ bedzie coś takiego

(3n+2)−1		(3n+2)1
	≤ an ≤

za bardzo nie wiem jak określić mianownik

wredulus_pospolitus: nie (3n+2)−1 tylko (3n+2)*(−1) zacznijmy od tego że nⁿ = n*n*n*...*n > n! > n więc ile będzie wynosić granica

wredulus_pospolitus: albo jak wolisz nⁿ > n²

juliasd: czyli w tym 1 mianownik to nⁿ a w 2 mianownik to np n²

wredulus_pospolitus: wystarczy

	≤ an ≤
nn + nn		nn

albo w ogóle nie zmieniasz mianownika

juliasd: zasada jest że mianownik musi być wiekszy w 1 a mniejszy w 2 czyli nie mam jakby ściśle okreslonych wartości jakii ten mianownik musi być chodzi tylko aby się zgadzały znaki? wiec mogło by być zapisane w 1 jako np nⁿ*2 ablbo nⁿ a w drugim np n³ lub n²

juliasd: ?

wredulus_pospolitus: w 1 (mniejszym) musisz 'zwiększyć' wartość w mianowniku, więc z nⁿ + 1 nie możesz zrobić samego nⁿ, ale nⁿ + nⁿ jak najbardziej

juliasd: czyli jakby jak są 2 'wyrazy' w mianowniku to muszę dać taką samą liczcbe

	−
więc np		to wtedy mogę to zapiać jako
	n3 + n2*2 + n4

	−		−
		≤an≤		?
	nn *3		n3

wredulus_pospolitus: wow wowwww n³ + n²*2 + n⁴ masz w mianowniku więc robisz (najlepiej)

	≤ an ≤
n4+2n4 +n4		0 + 0 + n4

dlaczego ... ponieważ n⁴ jest 'najszybciej rosnącą / największą' wartością w tym mianowniku (pomijam kwestię stałej 2*) w ten sposób nie musisz się długo zastanawiać czy takie oszacowanie będzie zbyt duże/zbyt małe (chociaż w niektórych przypadkach może się okazać zbyt mocnym oszacowaniem i dla takiego szacowania nie wyjdzie Ci granica z tw. o 3 ciągach) Przykład kiedy to będzie 'zbyt mocne' szacowanie:

	n4 + sin(n)
an =
	n3 + 2n2 + n4

Tak więc ... do szacowania podchodzimy na zasadzie: "co zrobić, aby było dobrze, a przy okazji się nie narobić zbytnio"

juliasd: Dziękuję W końcu zrozumiałam