szereg ania: ∑_n=0^∞ 1ⁿ czemu taki szereg jest rozbiezny

jc: Bo ciąg sum częściowych: 1, 2, 3, 4, 5, ... jest rozbieżny.

ania: racja, dziekuje, a wyrazy tego szeregu to beda 1 caly czas? czyli lim_n→∞ Sn=∞ a w przypadku szeregu (−1)ⁿ taki szereg tez bedzie rozbiezny? bo ciag sum czesciowych −1,0,1,0,−1 to jak to zapisac jaka jest granica ciagu sum czesciwych

jc: 1, 0, 1, 0, 1, 0, ciąg rozbieżny (to nie jest oczywiste?) Ciąg sum częściowych jest rozbieżny bo można wybrać dwa podciągi zbieżne do dwóch różnych granic. Inne uzasadnienie. Wyraz ogólny szeregu nie zbiega do zera.

ICSP: Mi się wydaje, że koleżanka nie zna definicji zbieżności szeregu. Tak samo jak i definicji ciągu sum częściowych.

ania: szereg jest zbiezny jezeli istnieje skonczona granica ciagu sum czesciwoych w przypadku szeregu ∑_n→1^∞=(−1)ⁿ S₁=a₁=−1 S₂= −1+1=0 S₃= −1+1−1=−1 S₄= −1+1−1+1=0 wlasnie dlatego pytam na forum, bo nie rozumiem co w moim rozumowaniu jest nie tak

ania: n=1 pod symbolem sumy oczywsicie

ICSP: twój ciąg sum częściowych wygląda następująco: −1,0,−1,0,−1,0... dla nieparzystych n przyjmuje wartości −1 a dla parzystych wartości 0. Oznacza to, że ma dwa punkty skupienia czyli jest ciągiem rozbieżnym. Dlatego szereg również jest rozbieżny.

jc: W dwóch wypadkach ciąg sum częściowych jest rozbieżny: 1, 2, 3, 4, ... −1, 0, −1, 0, −1, ... Ja to uzasadnić bez odwoływania się do definicji? Pierwszy ciąg jest nieograniczony, a ciąg zbieżny jest ograniczony. Drugi ciąg ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, a podciągi ciągu zbieżne są zbieżne do tej samej granicy. Inne uzasadnienie. Wyraz ogólny szeregu zbieżnego dąży do zera, a dwóch omawianych szeregach tak nie jest.

ania: okey, dziekuje, teraz rozumiem, 1 ciag ma granice niewlasciwa w ∞, wiec szereg jest rozbiezny a 2 ciag sum czesciowych sklada sie z dwoch podciagow, ktore maja rozne granice, wiec szereg jest rozbiezny