oblicz całkę grzesiek99: oblicz całkę ∫(x²−y²)/(x²+y²)² dx jak sie do tego zabrać?

jc:

	x		1		2x2		y2−x2
(		) '=		−		=
	x2+y2		x2+y2		(x2+y2)2		(x2+y2)2

Czyli prawie trafiliśmy!

	x
Całka = −
	x2+y2

grzesiek99: proszę o pomoc

grzesiek99: nadal nie rozumiem

jc: Jeśli F'(x)=f(x), to ∫f(x) dx = F(x).

marcin: no dobra, ale skąd jest: x/(x²+y²). ja mam całkę tylko

grzesieks99: wziales nie wiadomo skąd x/(x²+y²)....

jc: Wiadomo skąd. 1/(x²+y²) jest złe bo bo nie uzyskasz kwadratu x. x/(x²+y²) było następne w kolejce.

jc: Przy okazji, to ciekawa funkcja

	x2−y2
∫−11 dx ∫−11		dy
	(x2+y2)2

	x2−y2
= − ∫−11 dy ∫−11		dx
	(x2+y2)2

Obie całki iterowane istnieją i są do siebie przeciwne (całka podwójna nie istnieje, dlaczego?) Oblicz wartość pierwszej całki.

Mariusz: jc ale to modne, amerykańskie na siłę omijanie całkowania przez części grzesiek

	(x2−y2)
∫		dx
	(x2+y2)2

Chcesz obniżyć potęgę mianownika Możesz to zrobić na dwa sposoby 1. Przez dodanie zera w liczniku 2. Całkując przez części Gdybyś dodał zero w ten sposób

	(x2−y2+2y2−2y2)
∫		dx
	(x2+y2)2

to musiałbyś korzystać ze wzoru redukcyjnego Lepiej jest dodać takie zero

	x2−y2−2x2+2x2
∫		dx
	(x2+y2)2

Rozbijamy tę całkę na dwie całki

	−x2−y2+2x2
∫		dx
	(x2+y2)2

	dx		2x2
=−∫		dx+∫		dx
	x2+y2		(x2+y2)2

	2x2
Teraz całkę ∫		dx
	(x2+y2)2

liczysz przez części Jeśli chodzi o dobór części to zauważasz że

2x
(x2+y2)2

łatwo scałkować i potęga mianownika ci się zmniejszy tak jak tego oczekiwałeś, więc pozostały czynnik będziesz różniczkować

wredulus_pospolitus: Mariusz ale to modne, amerykańskie na siłę nie podanie informacji jak autor ma wpaść na taki sposób rozłożenia całki na dwie całki. Jak dla niego − jedna i druga metoda w tym momencie to taka sama 'zgaduj zgadula'.

Mariusz: Wzór redukcyjny to zgaduj zgadula no nieźle miernoto udająca geniusza

wredulus_pospolitus: Mariusz ale to modne, amerykańskie nie podawać wyjaśnienia, dlaczego tak właśnie miał zrobić uczeń, na co ma w przyszłości zwrócić uwagę, po prostu przedstawić gotowca (co dla niego jest zgaduj zgadulą) i niech się uczeń sam domyśla.

Słoniątko: Hej górale, nie bijta się , ma góralka z góry z dołu, podzielita się

Mariusz: Wredulus co twój wpis wnosi do tematu ? Spójrzmy też na efekt wpisu jc Nikt poza nim nie wiedział co się dzieje w jego wpisie Sugerują to wpisy z 2 lis 2020 21:21 2 lis 2020 21:36 a także z 2 lis 2020 22:16 2 lis 2020 22:29 Oczywiście tę całkę można też liczyć schematycznie 1. Dzielenie wielomianów gdy stopień licznika jest większy od stopnia mianownika 2. Rozkład na sumę ułamków prostych 3. Całkowanie ułamków prostych 3a Jeżeli w rozkładzie na sumę ułamków prostych w mianowniku nie występuje trójmian kwadratowy nierozkładalny to bardzo łatwo takie ułamki scałkować w pamięci 3b Jeżeli w rozkładzie na sumę ułamków prostych w mianowniku występuje trójmian kwadratowy nierozkładalny to musimy się nim jeszcze pobawić

	Ax+B
∫
	(x2+rx+s)k

Zapisujemy całkę w postaci sumy dwóch całek W liczniku pierwszej chcemy mieć pochodną trójmianu kwadratowego w mianowniku pomnożoną przez pewną stałą którą można wyciągnąć przed znak całki Trójmian kwadratowy w mianowniku drugiej całki zapisujemy w postaci kanonicznej

	Ax+B		A		2x+r		Ar		dx
∫		=		∫		+(B−		)∫
	(x2+rx+s)k		2		(x2+rx+s)k		2		((x−p)2+q)k

Pierwszą całkę można policzyć podstawieniem za trójmian kwadratowy t=x²+rx+s W drugiej stosujemy podstawienie x−p=√qu a następnie korzystamy z wzoru redukcyjnego Wzór redukcyjny wyprowadzamy dodając do licznika pewne zero tak abyśmy mogli po rozbiciu całki na sumę całek skrócić licznik z mianownikiem Drugą całkę liczymy przez części Mamy całkę

	dx
∫
	(x2+1)n

i chcemy wyprowadzić wzór redukcyjny Wygodniej by się nam liczyło przez części gdybyśmy mieli w liczniku x^k gdzie k ≥2 zatem dodajemy takie zero aby po rozbiciu na sumę całek w jednej z całek licznik nam się skrócił z mianownikiem a w liczniku drugiej całki dostać x^k gdzie k ≥2 abyśmy łatwiej mogli dobrać czynniki do całkowania przez części