pierścienie mr t: Sprawdzić, że Z[√2]={a+b√2:a,b∈Z} jest pierścieniem przemiennym. Nie są podane działania, zatem mam je sobie sam określić? Jeżeli nie, to jak się za to zabrać?

jc: Weź zwykłe dodawanie i mnożenie liczb.

mr t: okej, dzięki

mr t: Jeszcze pytanie odnośnie innego przykładu, mam pierścień (Z, +, *), gdzie a+b=a+b+1, a*b=a+b+ab, sprawdziłem, że jest to pierścien przemienny, teraz sprawdzam, czy jest on ciałem

	a
− wyliczyłem element neutralny e=		i teraz pytanie czy element neutralny musi być
	1+a

liczbą całkowitą?

wredulus_pospolitus: nawet jeżeli by nie musiał być to dla a = −1 nie masz elementu neutralnego dla mnożenia ... ogólnie brak elementu neutralnego dla dodawania

mr t: czyli pierścien ten nie jest ciałem?

mr t: podbijam

ite: 14:08 czy elementem neutralnym działania * nie jest 0 ? a*b=a+b+ab a*e=a a+e+ae=a e+ae=0 e(1+a)=0 e=0 dla (−1) mamy (−1)+e+(−1)e=(−1) (−1)+0+(−1)0=(−1) (−1)=(−1)

wredulus_pospolitus: chodzilo mi o ... nie ma elementu odwrotnego

mr t: ite, tak, natomiast, przy warunku na ciało i tak trzeba a=−1 wyrzucić. Mam wrazenie, że nie umiem przekazać o co mi chodzi... wyliczając element neutralny dla mnożenia musi on należeć do zbioru Z?

mr t: doszukałem się w koncu definicji, i wychodzi, że element neutralny dla mnożenia musi należeć do zbioru Z, potwierdzi ktoś?

mr t: A jeżeli ten element neutralny dla mnozenia nie nalezy do zbioru Z, to wtedy dyskwalifikuje to ten pierscien przemienny z bycia ciałem?

mr t: podbijam

jc: a "+" b = (a+1) + (b+1) − 1 a "*" b= a + b + ab = (a+1)(b+1) − 1 To są przesunięte liczby całkowite: zerem jest −1, a jedynką 0. Tak, jak w przypadku liczb całkowitych , mamy tylko dwa elementy odwracalne: 0 i −2. Pozostałych elementów nie odwrócisz, dlatego to ni jest ciało.