relacje salamandra: 5. Czy relacja jest równoważnością? a) {(x,y) ∊ R: |x−y|≤1} b) {(f, g) : g = f⁻¹} na zbiorze bijekcji f : R → R c) Relacja {(A, B) : |A| = |B|} na klasie zbiorów d) {(m, n) ∈ N : m = n + 1 mod 5} e) {(m, n) ∈ Z : |m − n| jest parzyste } a) nie jest równoważnością, ponieważ nie jest przechodnia, przykładowe pary: (1,2), (2,1), (0,1), (0,0), (1,0). Dla trójki 0,1,2 mamy: 0−>1, 1−>2, ale nie ma 0−>2

wredulus_pospolitus: (a) okey

salamandra: b) nie wiem jak się zabrać, jedyne, czego się domyślam to to, że jest symetryczna, ale nie będę strzelał

salamandra: c) było omówione wczoraj przy okazji innego zadania −−− TAK d) Nie jest ani zwrotna, ani symetryczna, ani przechodnia. Przykładowe pary: (1,0), (2,1), (3,2), (4,3), (0,4), (1,5)

wredulus_pospolitus: (b) zacznijmy od tego ... że relacja nie jest zwrotna ... bo g = g⁻¹ zachodzi tylko dla wybranych przypadków (np. g(x) = −x)

salamandra: i dalej się nie ma co zagłębiać, bo to warunek wystarczalny, aby nie zachodziła równoważność, c) dobrze zrobiłem?

salamandra: sory, d)*

wredulus_pospolitus: (d) ... tak ... chociażby nie jest zwrotna ... ale także pozostałe kwestie odpadają a co z (e)

salamandra: e) jest równoważnością, przykładowe pary: (0,0), (0,2), (2,0), (0,4), (4,0), (2,2), (4,4), (2,4) symetryczna, bo np. (0,2), (2,0) i zachodzi to dla każdej pary. zwrotna, bo mamy (0,0), (2,2), (4,4) itd przechodnia, bo np. dla pary 0,2,4 0−>2, 2−>4, 0−>4

salamandra: No i z góry zapytam, czy takie uzasadnienie w ogóle jest poprawne, bo de facto nie wymieniłem wszystkich możliwości i skąd wiadomo, czy gdzieś tam dalej, ta reguła też się sprawdza. I drugie pytanie odnośnie tych klas abstrakcji: https://ibb.co/J3KQ5QV Czemu to jest tak rozpisane z tym mod? Normalnie bym to odczytał, że dla [0]: a= reszta z dzielenia zera przez 3, czyli 0. A tutaj chyba chodzi o podzbiór, dla których ta RESZTA jest równa 0, ale jak to odróżnić, bo tak jak miałem w przykładzie d) tutaj, no to ten "mod" się zupełnie inaczej odczytuje.

wredulus_pospolitus: oczywiście, że NIE JEST Musisz wykazać, że jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia Przykłady to podajemy, aby pokazać że relacja jakaś nie jest.

salamandra: No właśnie, tak myślałem więc jak to pokazać?

wredulus_pospolitus: ∀_{m ∊ Z} | m − m | = | 0 | = 0 = 2*0 <−−− parzysta ∀_{m,n ∊ Z} | m − n | = |(−1)*(n−m)| = |−1|*|n−m| = |n−m| więc jeżeli |m−n| = 2j to |n−m| = 2j ∀_{m,n,k ∊ Z} ( | m − m | = 2j ∧ |n−k| = 2i ) ⇒ |m − k| = 2p a przechodniość zostawię dla Ciebie ... pomyśl, pokombinuj

salamandra: W drugiej linijce udowodniłeś symetryczność, a w trzeciej?

salamandra: Co jest w trzeciej linijce pokazane? Bo próbuję to rozgryźć i nie mogę− nie powinno być zamiast |m−m| , |m−n|?