relacje salamandra: 3.Które z własności spełnia relacja: c) {(a,b) ∊ R: a=2b v b=2a} np. (0,0), (1,2), (2,1), (2,4), (4,2) więc: symetryczna d) {(m,n) ∊ N: m=n+1 mod 4} np. (0,3), (1,4), (2,1), (3,2), (2,5) więc: przeciwzwrotna e) {(m,n) ∊ Z: m+n=3} np, (1,2), (2,1), (0,3), (3,0), (−1,4), (4−1) więc: przeciwzwrotna, symetryczna 4. Które z własności spełnia relacja przedstawiona na grafie? https://ibb.co/XtmJtVY a) symetryczna, zwrotna, przechodnia b) symetryczna c) przechodnia, przeciwzwrotna, antysymetryczna d) zwrotna, przechodnia, antysymetryczna dobrze?

sushi: zrobiłaś może tabelkę, aby sprawdzić czy może robiłaś na podstawie wzorów ?

salamandra: nie robiłem na podstawie żadnych wzorów, ani tabelek

sushi: to tak ma "pałę" podałaś odpowiedzi do zadania 3?

salamandra: no nie na pałę, jak widzisz, napisałem poniżej kilka przykładów takich par i na podstawie tego wyciągałem wnioski.

sushi: ja tam wolę np tabelkę i w środku zaznaczam krzyżykiem, te pary liczb, które pasuję wtedy widać od razu symetryczność i zwrotność, dorzucając "znajomość wzorów" też widać pozostałe własności nie wypisałaś dlaczego nie mogą być inne własności

salamandra: A ja mam za zadanie sam to ogarnąć, bez pomocy prowadzącego ćwiczenia, nie mam podanych żadnych wzorów do materiałów, żadnych tabelek i muszę sobie radzić za pomocą samych definicji, nie wiem o żadnych tabelkach i wzorów, byłbym wdzięczny, gdybyś mi podała/podał chociaż przykład, jak za pomocą tych tabelek/wzorów to rozwiązać.

sushi: na kółkach muszą być "x" aby była zwrotna aby podać, że nie zachodzi jakaś własność trzeba podać pary liczb, inaczej na uczelni nie zaliczą zadania

salamandra: Jeszcze dopytam− któryś konkretnie podpunkt tutaj został rozwiązany?

sushi: https://pl.wikipedia.org/wiki/Relacja_dwuargumentowa relacje w zbiorze

sushi: to był "a=2b lub b=2a" dlatego dałem różne kolory

salamandra: Ok, tak myślałem, ale nie widziałem, aby "0" zostało uwzględnione, więc wolałem dopytać. Jesteś w stanie mi odpowiedzieć, czy dobrze rozwiązałem pozostałe?

sushi: xgy (x w relacji z y) −> czyli relacja g ygx (y w relacji z x) −> czyli relacja g⁻¹ − zwrotna xgx czyli z tabelki musi być zakreślona cała przekątna (zwana Δ) − symetria g o g⁻¹ ⊂ g czyli krzyzyki pod przekątną muszą być symetrycznie też nad przekątna − przeciwsymetryczna (asymetryczna) g ∩ g⁻¹ = ∅ − przeciwzwrotna Δ ∩ g = ∅ − spójna g ∪ g⁻¹= X cała tabelka − antysymetryczna g ∩ g⁻¹ ⊂ Δ

sushi: do 3 c) pokaż po kolei że dana własność zachodzi/niezachodzi

salamandra: c) zwrotna zachodzi tylko dla (0,0), więc odpada, bo musiałaby zachodzić dla każdej pary przeciwzwrotna zachodzi dla wszystkich oprócz (0,0), więc również odpada symetryczna zachodzi dla każdej pary, tj. (0,0), (1,2), (2,1), (2,4), (4,2) itd antysymetryczna nie zachodzi, wystarczy podać parę (1,2), (2,1). przechodnia nie zachodzi, bo nie ma takiej pary, dla której xRy, yRz i xRz.

sushi: c) −zwrotna nie ( bo nie jest cała przekątna "zaiksowana") −przeciwzwrotna nie ( bo jest (0,0)∊g, a nic nie może być na przekątnej) patrz−> Δ ∩ g = ∅ −symetryczna tak g= g⁻¹ − przeciwsymetryczna − nie bo g⁻¹=g patrz −> g ∩ g−1 = ∅ oraz jak jest symetryczna, to nie moze być przeciwsymetryczna ani antysymetryczna − antysymetryczna − nie −−> g ∩ g−1 ⊂ Δ "cześć wspolna nie siedzi na przekatnej) + komentarz powyżej −przechodnia g o g−1 ⊂ g u góry zgubiłem − nie bo (1,2) o (2,1)= (1,1) ∉ g −spójna − nie

sushi: d) m≡ n+1 (mod 4) ?

salamandra: właśnie nie wiem czy ja to dobrze czytam, bo to n+1 ma być tą resztą z dzielenia, czy liczbą, którą dopiero przez 4 będę dzielił? według mnie n+1 jest liczbą, którą będę dzielił, a "m" jest tą resztą, przynajmniej tak jest w informatyce, ale w dalszych zadaniach mam jakieś klasy abstrakcji i tam dziwnie jest ten mod przedstawiony, później podeślę.

sushi: raczej to co ja zapisałem a≡b (mod n) <=> n| (a−b) dlatego tutaj polecam zrobić tabelkę od 0 do 10 po "m" i "n" i na rysunku wyjdzie ładne położenie "x" to potem moze się przydać do klas abstrakcji

salamandra: może zanim zrobię tę tabelkę, to spytam: pary np. (0,3), (1,4) są dobrze?

sushi: tak, dla modułów trzeba brać (0,3), (0,7), (0,11)...... (1,4) nie jest pierwszą parą dla (1,....)

salamandra:

sushi: za mało krzyzyków jeżeli 0 ∊N, to tabelka powinna być od "0" (m\n) u Ciebie jest (n\m) zamienić kolejność "m" z "n" w tabelce (0,3), (0,7), (0,11)...... (1,0), (1,4), (1,8) (1,12).... (2,1), (2,5), (2,9),.... (3,2), (3,6), (3,10),... (4,3), (4,7), (4,11),...

salamandra: tak, wiem, że za mało, ale nie mogłem zmieścić tylu kolumn i wierszy, ale wiem o co chodzi

salamandra: i u mnie poziomo są "m", a pionowo "n", czyli dobrze

sushi:

sushi: x −> relacja g x −−> relacja g⁻¹

sushi: lepiej tak robić bo od razu widać klasy abstracji, jak relacja będzie: "zwrotna, symetryczna, przechodnia"

salamandra: czyli ta będzie tylko przeciwzwrotna, tak jak napisałem?

sushi: a przeciwsymetryczna ?

salamandra: no tak, racja

sushi: a antysymetryczna ? g ∩ g⁻¹ ⊂ Δ

salamandra: a czym się różni antysymetryczna od przeciwsymetrycznej? nie zauważyłem, że pytałeś o przeciwsymetryczną, a ja miałem na myśli, że ona jest antysymetrcyzna

sushi: − przeciwsymetryczna (asymetryczna) g ∩ g⁻¹ = ∅ − antysymetryczna g ∩ g⁻¹ ⊂ Δ

sushi: z linku antysymetryczność (słaba antysymetryczność), (x ϱ y) ∧ (y ϱ x) ⇒ x = y , przeciwsymetryczność lub asymetryczność (ścisła antysymetryczność), (x ϱ y )⇒ ¬ ( y ϱ x ) ,

salamandra: aaa, czyli antysymetryczna jest wtedy, gdy symetryczność istnieje tylko pomiędzy identycznymi elementami, a przeciwsymetryczność, jak nawet dla równych nie występuje, a ściślej− nie posiada równych?

sushi: antysymetria == jak weźmiesz (1,4) i (4,1) −−> (1,1) , gdzie (1,4) ∊ g, (4,1) ∊ g⁻¹ przeciwsymetryczność === (1,4) ∊ g, a (4,1) ∉ g⁻¹ lub z tego co napisalem o 12.09

sushi: antysymetria == jak weźmiesz (1,4) i (4,1) −−> (1,1) , gdzie (1,4) ∊ g, (4,1) ∊ g⁻¹ przeciwsymetryczność === (1,4) ∊ g, a (4,1) ∉ g⁻¹ lub z tego co napisalem o 12.09

salamandra: nie rozumiem na podstawie takich definicji − czy to co powiedziałem o 12:18 jest poprawne? Jak mam jakieś pary: (1,2), (2,1), (2,4), (4,2)− to mamy symetrie, a jak mamy (1,3), (2,4), (3,3), (4,4) to mamy antysymetrię. Jak mamy (1,3), (2,4), (5,6) to mamy przeciwsymetrię tak?

sushi: przeciwsymetryczność === (1,4) ∊ g i (4,1) ∉ g ==> (1,4) ∊ g⁻¹

salamandra: to w końcu w tym przykładzie d) będzie przeciwsymetryczna tak?

sushi: patrz na teorię antysymetryczność (słaba antysymetryczność), (x ϱ y) ∧ (y ϱ x) ⇒ x = y , + pomocnicze (z tabelki) g ∩ g⁻¹ ⊂ Δ poza tym trzeba sprawdzić każdą parę, a nie rzucasz parami i zrozumieć te dwa wzory powyżej

salamandra: czyli dla każdej tabelki muszę/powinienem sobie pomocniczo dopisać krzyżyki z g⁻¹?

sushi: − przeciwsymetryczna (asymetryczna) g ∩ g{−1} = ∅ Czy "x" niebieskie i szare się pokrywają ? aby była przeciwsymetryczna "część wspólna" musi dać zbiór pusty ? Czyli prośćiej mówiąc, aby była to relacja przeciwsymetryczna "x" nie mogą się pokrywać

sushi: tabelka jest dla ułatwienia oraz moje wzory; zrobisz sobie innym kolorem "g⁻¹" i bedzie widać wszsytkie własności jak na tacy normalnie jedziesz z "linka" gdzie nie zawsze widać i strzelasz przy tych trudnych.

salamandra: już chyba zrozumiałem, czyli Δ to ta cała przekątna, ale żeby była antysymetryczna to musi się ZAWIERAĆ w tej delcie, ale niekoniecznie całej tak?

sushi: Δ− pisałem o tym na samym początku częśc wspólna "x" szarych i niebieskich musi się zawierać w Δ nigdzie nie jest napisane g ∩ g⁻¹= Δ

salamandra: e) przeciwzwrotna, symetryczna niebieska kreska= g⁻¹

sushi: tutaj można wyjść od działania x+y= 3 (dodawanie jest przemienne) więc y+x= 3 −−> symetryczna , więc już odpada antysymetryczna i przeciwsymetryczna zwrotna nie jest spojna nie jest przechodnia nie jest zostaje do sprawdzenia "przeciwzwrotność" (teoria lub tabelka i moje wzory)− tak

sushi: zadanie "4" załóż nowy post, dodatkowo wypisz jakie pasują pary oraz mozna zrobić tabelkę

salamandra: dzięki za pokazanie tego sposobu z tabelką, faktycznie ułatwia sprawę. A jak z tymi grafami, co podesłałem link do zdjęcia?

salamandra: sory, pisałem, zanim zobaczyłem 12:49.

sushi: na zdrowie