Całka Aneyh:

	3x+5
∫
	(x2+1)2

Jak rozwiązać tę całkę?

wredulus_pospolitus:

3x+5		3		2x		1
	=		*		+ 5*
(x2+1)2		2		(x2+1)2		(x2+1)2

pierwszy ułamek ... jeszcze podstawienie zrób jeżeli 'nie widzisz' skorzystaj ze wzorów na całki elementarne

Aneyh: Dziękuję

Damian#UDM:

	3x+5		3		2x		1
∫		dx =		∫		dx + 5∫		dx =
	(x2+1)2		2		(x2+1)2		(x2+1)2

	3
= 10ln(x2+1) −		+ C
	2x2+2

Czy to poprawne rozwiązanie? czy jednak zamiast logarytmu powinien być arctgx ?

wredulus_pospolitus:

	1
5∫		dx robisz przez części
	(x2+1)2

Damian#UDM: A, przez części, świetnie nienawidzę tego i prawie mi to nie wychodzi, więc będzie ciężko spróbuję.

ABC: wredulus niekoniecznie przez części, daleko mi do Mariusza całkownika dyplomowanego ale widzę że x=tg t można podstawić

wredulus_pospolitus: ABC ... no to podstawiamy i mamy: ∫ cos²t dt iii ... nadal jedziesz przez części

ABC: nie musisz przez części , możesz z podwojonego kąta

Damian#UDM:

	cos(2t) + 1
cos(2t) = 2cos2(t) − 1 −> cos2(t) =
	2

Najpierw to sam muszę dość do ∫cos²(t)dt

wredulus_pospolitus: Damian ... całkowanie 'przez części' to nic innego jak przekształcony wzór na pochodną iloczynu: (f*g)' = f' * g + f * g' −−−> ∫ (f*g)' dx = ∫f' * g dx + ∫ f * g' dx −−> −−−> f*g = ∫f' * g dx + ∫ f * g' dx −−−> −−−> ∫f' * g dx = f*g − ∫f * g' dx <−−− a to jest wzór na całkowanie przez części

Damian#UDM: wredulus bardzo dziękuję za ciekawą informację, nie miałem o tym żadnego pojęcia, że te dwa wzory są ze sobą powiązane Przeglądając wzory na pochodne ujrzałem jedno interesujące równanie:

1		1
	= 1 + tg2x −> 1 = cos2x(1 + tg2x) −> cos2x =		,
cos2x		1+tg2x

cieszę się, że udało mi się do tego dojść wredulus spróbuję poćwiczyć całkowanie przez części. Nie byłem na żadnych matematycznych studiach, wszystkiego uczyłem się na własną rękę no i z waszą pomocą. Może się jednak niedługo wybiorę

Damian#UDM:

	1
5∫		dx = $
	(x2 + 1)2

	1		1
x = tgt ,		= (		)2 = cos2t
	(tg2t + 1)2		tg2t + 1

1		1
	= (		)2 = cos2t
(tg2t + 1)2		tg2t + 1

	1		5		5
$ = 5∫		dt = 5∫cos2(t) dt =		∫cos(2t) dt +		∫dt = #
	(tg2t + 1)2		2		2

2t = m 2dt = dm

	dm
dt =
	2

	5		5		5		5
# =		∫cos(m) dm +		t + C =		sin(2t) +		t + C =
	4		2		4		2

	5		5
=		sin(2x) +		x + C
	4		2

Czy poradziłem sobie z zadaniem?

Damian#UDM: Dobra, chyba powinien być cos⁴(t), czy się mylę ?

wredulus_pospolitus:

1		1
	=		=
(x2+1)2		sin2t   ( + 1)2   cos2t

	1
=		= cos4t
	sin2t + cos2t   ( )2   cos2t

oraz:

	1
dx =		dt
	cos2t

stąd po podstawieniu zostaje:

	cos4t
... = ∫		dt = ∫ cos2t dt
	cos2t

Damian#UDM: No tak, dziękuję wredulus za poświęcony czas i wytłumaczenie Właśnie na początku zastanawiałem się, czy jak podstawimy za x = tg(t) do z dx od razu się zrobi dt, a tutaj jednak trzeba użyć podstawienia i policzyć pochodną podstawienia, zatem bardzo dziękuję za pomoc!