relacje salamandra: 5. Relacja jest przechodnia, jeśli xRy i yRz ⇒ xRz dla każdego x, y, z ∈ S Dlaczego relacja {(a,a),(b,b),(a,b)} ⊂ {a,b}² jest zwrotna? Skoro nie występuje tu żadna trzecia wartość?

Shizzer: Pytasz o relację zwrotną, a nie przechodnią więc nie potrzebne Ci są trzy wartości. Definicja relacji zwrotnej wygląda tak: R ⊂ A x A ∀_{a ∊ A} aRa Tzn. każdy element iloczynu kartezjańskiego A x A jest w relacji sam ze sobą.

salamandra: Podałem definicję, jaką miałem odnośnie relacji przechodniej, a później byl przykład i było napisane, że ta relacja jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Zastanawiam się, czemu jest oczywiście PRZECHODNIA, a nie zwrotna, przepraszam.

mr t: bo jeżeli x=y i y=z to x=z,

Shizzer: aRa ∧ aRb ⇒ aRb Z tego wynika na przykład, że ta relacja jest przechodnia. Przynajmniej ja bym tak napisał, bo innej zależności tutaj nie widzę, która by uzasadniała, że ta relacja, którą zapisałeś jest przechodnia.

ite: spójrz na możliwe ''drogi" etapami a → a → b aRa ∧ aRb ⇒ aRb bezpośrednio a → b a → b → b aRb ∧ bRb ⇒ aRb a → b a → a → a aRa ∧ aRa ⇒ aRa a → a b → b → b bRb ∧ bRb ⇒ bRb b → b

salamandra: Aha, czyli w pewnym momencie stoimy w miejscu, ale de facto się poruszamy, np. z „a” do „a”?

ite: Raczej poruszamy się, ale de facto stoimy w miejscu : ) Taki krok naprzód ale jesteśmy tam, gdzie poprzednio. Wiele jest takich działań, ale to już tematy spoza matematyki. Relacja {(a,a)} ⊂ {a,b}² też jest przechodnia.

ite: I relacja pusta jest też przechodnia. Czyli można też skutecznie przechodzić znikąd donikąd.

salamandra: czyli np. w {(a,a)} uznajemy za x,y,z "a", jako jakieś "inne" "a", tak?

ite: Sam napisałeś w definicji 12:08 "dla każdego x, y, z ∈ S". Nie ma warunku x≠y czy y≠z (a taki zapis oznaczałby inne).