Udowodnij nierówność
H3niu: | | x | | y | |
Dla dodatnich liczb x,y,z których iloczyn wynosi 1 udowodnij |
| + |
| + |
| | y+z+1 | | x+z+1 | |
31 paź 11:50
jc: Nie powtarzaj, tylko poczekaj na odpowiedź.
31 paź 12:01
ICSP: zmieniła się moc nierówności
31 paź 12:07
H3niu: w tamtej jest bład ma być tak jak teraz jest
31 paź 12:10
jc: Wyjdźmy od znanej nierówności:
x,y,z,t >0
| x | | y | | z | | t | | 4 | |
| + |
| + |
| + |
| ≥ |
| |
| y+z+t | | z+t+u | | t+x+y | | x+y+z | | 3 | |
| | 1 | | 1 | |
Dalej u=1. Jeśli xyz=1, to x+y+z ≥ 3 i |
| ≤ |
| . |
| | x+y+z | | 3 | |
| x | | y | | z | | 1 | |
| + |
| + |
| + |
| |
| y+z+1 | | z+1+u | | 1+x+y | | 3 | |
| | x | | y | | z | | 1 | | 4 | |
≥ |
| + |
| + |
| + |
| ≥ |
| |
| | y+z+1 | | z+1+u | | 1+x+y | | x+y+z | | 3 | |
A stąd już wynik.
31 paź 13:45
jc: Zamiast u wszędzie powinno być t.
31 paź 13:51
jc: Jeszcze raz.
| x | | y | | z | | u | | 4 | |
| + |
| + |
| + |
| ≥ |
| |
| y+z+u | | z+u+x | | u+x+y | | x+y+z | | 3 | |
Dalej popraw tak, aby było dobrze.
Zaraz podam dowód powyższej nierówności.
31 paź 13:54
jc: Oznaczmy kolejne mianowniki literami a,b,c,d. Wtedy
x=(−2a+b+c+d)/3, itd.
| | 8 | | 1 | | b | | a | | 8 | | 12 | | 4 | |
Teraz lewa strona = − |
| + |
| ( |
| + |
| + ...) ≥ − |
| + |
| = |
| |
| | 3 | | 3 | | a | | b | | 3 | | 3 | | 3 | |
31 paź 14:04
H3niu: dzięki
31 paź 15:20