Pominięcie sprawdzenia w zadaniu - czy jest to dozwolone? Shizzer: Wykaż, że struktura (Z₄, +, *), gdzie działania + i * oznaczają odpowiednio +₄ i *₄ nie jest podciałem ciała (Z₅, +, *), Spoglądałem na rozwiązanie tego zadania z kursu i autor pominął sprawdzanie czy struktura (Z₄, +, *) jest pierścieniem przechodząc od razu do sprawdzenia czy jest to pierścień przemienny. Można pominąć sprawdzenie czy jest to pierścień w przypadku sprawdzania czy jest to podciało? Gdybym pierwszy raz się zetknął z takim zadaniem na kolokwium to na pewno sprawdziłbym najpierw czy pierwsza struktura jest pierścieniem, ale zajęłoby mi to dość dużo czasu.

Shizzer: Jeszcze mam pytanie − Jak udowodnić np. łączność działania (Z₄, +₄)? Przemienność, element neutralny i odwrotny jest łatwo, bo można sobie naszkicować tabelę +₄ i z niej to wynika, ale łączność?

znak: Zróbmy od razu dla Z_n. Weźmy sobie x, y, z ∊ Z_n. Chcemy pokazać, że (x +_n y) +_n z = r_n((x +_n y) + z) = = r_n(x +_n (y +_n z)) W tym celu pokażemy, że r_n((x +_n y) + z) = r_n(x + y + z). Skorzystajmy z pewnego faktu, że r_n(a) = r_n(b) ⇔ n| a − b. Wówczas, jeśli wziąć x +_n y = r_n(x + y) = r, to mamy n| x + y − r ⇔n| x + y − (x +_n y), czyli n|x + y + z − [(x +_n y) +z]. A więc korzystając z powyższego faktu mamy, że r_n(x + y + z) = r_n((x +_n y) + z) Wobec tego (x +_n y) +_n z = r_n(x + y + z). I teraz analogicznie pokazujemy, że x +_n (y +_n z) = r_n(x + y + z), a to kończy dowód.

Adamm: Załóżmy że tak jest. Wtedy grupa Z₄ jest podgrupą Z₅ więc 4|5, sprzeczność.