Udowodnij
myszojelen: Suma liczb rzeczywistych a, b oraz c jest równa 1. Udowodnij, że 8a2 +8b2 + 11c2 ≥ 1 +
2(ab+4bc+4ca)
30 paź 10:53
ICSP: Dla dowolnych rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność:
2(a−b)2 + 5(a−c)2 + 5(b − c)2 ≥ 0
Przekształcając ją
2a2 + 5a2 + 2b2 + 5b2 + 5c2 + 5c2 ≥ 4ab + 10ac + 10bc
7a2 + 7b2 + 10c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc + 2(ab + 4ac + 4bc)
dodając do obu stron a2 + b2 + c2
8a2 + 8b2 + 11c2 ≥ (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc) + 2(ab + 4ac + 4bc)
8a2 + 8b2 + 11c2 ≥ (a+b+c)2 + 2(ab + 4ac + 4bc)
co po zastosowaniu równości a+b+c = 1 daje teze.
30 paź 11:17
Damian#UDM: a
2 − 2ab + b
2 + 4b
2 − 8bc + 4c
2 + 4a
2 − 8ac + 4c
2 + 3a
2 + 3b
2 + 3c
2 ≥ 1
(a−b)
2 + (2b−2c)
2 + (2a−2c)
2 + 3(a
2 + b
2 + c
2) ≥ 1
(a−b)
2 ≥ 0
(2b−2c)
2 ≥ 0
(2a−2c)
2 ≥ 0
a + b + c = 1 , czy z tego równania jesteśmy w stanie wywnioskować, że a
2 + b
2 + c
2 ≥1 ?
jeśli tak, to 3(a
2 + b
2 + c
2) ≥ 3,
wtedy nierówność jest spełniona.
Przykład:
| | 3 | | −1 | | 1 | |
Niech a = |
| , b = |
| , c = |
| , wtedy |
| | 4 | | 4 | | 2 | |
| | 3 | | −1 | | 1 | |
a + b + c = |
| + |
| + |
| = 1, ale |
| | 4 | | 4 | | 2 | |
| | 9 | | 1 | | 4 | | 14 | | 7 | |
a2 + b2 + c2 = |
| + |
| + |
| = |
| = |
| < 1 |
| | 16 | | 16 | | 16 | | 16 | | 8 | |
z tego przykładu wynika, że istnieją takie liczby rzeczywiste a, b i c, których suma kwadratów
jest mniejsza od 1.
Więc moja nierówność chyba nie może być prawdziwa
Proszę o potwierdzenie, zaprzeczenie lub poprawienie mnie
31 paź 01:17
Damian#UDM: Albo przekształćmy równanie : c = 1 − a − b
c
2 = 1 + a
2 + b
2 + 2ab − 2a − 2b
wtedy
23a
2 + 23b
2 + 28ab − 26a − 26b + 10 ≥ 0
Czy da się te wyrażenia pozwijać ze wzorów skróconego mnożenia? Ja niestety nie mam na to
pomysłów
31 paź 01:31
Damian#UDM: Czy jest możliwość rozwiązania tej nierówności z pochodnych? Na przykład przyjmując funkcję
f(a) i f(b) ?
31 paź 01:39
jc:
23a
2+23b
2+28ab−26a−26b+10
| | 851(a−13/37)2 + 851(b−13/37) + 1036 (a−13/37)(b−13/37) + 32 | |
= |
| |
| | 37 | |
31 paź 08:30