Struktury matematyczne - grupy Shizzer: Sprawdź, czy podana struktura jest grupą. Jeśli tak, sprawdź, czy jest to grupa przemienna.

	⎧	a + b, a + b < 1
(G, o), gdzie G = [0, 1) oraz a o b =	⎩	a + b − 1, a + b ≥ 1

Odpowiedź jest taka, że struktura (G, o) jest grupą abelową. Sprawdzam warunek łączności działania. (a o b) o c = a o (b o c) Dla a + b < 1: L = (a o b) o c = (a + b) o c = (a + b) + c = a + b + c P = a o (b o c) = a o (b + c) = a + b + c No i L = P, ale jak sprawdzić czy a + b + c ∊ [0, 1)? No przecież jeśli a + b < 1 to może to być jakaś wartość 0.9 na przykład. c to może być wartość też 0.9 i wtedy a + b + c = 1.8 ∉ [0, 1) zatem nie dla każdego a, b, c ∊ G działanie jest przemienne więc nie jest to grupa. Co jest nie tak w moim rozumowaniu tego przykładu?

jc: a o b = { a + b } = część ułamkowa (a+b) Wydaje się, że wystarczy własność { x + {y} } = {x + y} (tu nie wprowadzamy ograniczeń na x, y. x = n+r, y = m+s, n, m = części całkowite, r, s części ułamkowe L = {r+s} = P {a + { b + c} } = {a + b + c} = { {a + b} + c}

Shizzer: Szczerze mówiąc to niezbyt nadążam za tym tokiem rozumowania. Ale dzięki za pomoc

jc: Po prostu część ułamkowa sumy nie nie zmieni się, jeśli dodawane liczby zastąpisz ich częściami ułamkowymi.

Shizzer: Czyli w którym momencie moje rozważania z pierwszego postu były błędne?

ABC: w takim że myślałeś że to może wyskoczyć poza przedział , przy tym określeniu działania nie wyskoczy

Shizzer: A mógłbym prosić o jakiś przykład tego podejścia? Wszystko szybko by mi się rozjaśniło

ABC: ale jaki przyklad, z okreslenia dzialania to wynika

Adamm: x → exp(2πix) No i mamy izomorfizm.

znak: Błąd masz w myśleniu. Wezmę Twój przykład, żeby było Ci łatwiej. Niech a + b = 0.9 oraz c = 0.9, mamy więc (a o b) o c = (a + b) o c = a + b + c −1. Dlaczego tak? Spójrz na wzór, jakim masz określone działanie. Dla a + b ≥ 1 mamy wzór a + b − 1. Ten zapis "a + b ≥ 1" nie oznacza, że jak pojawia Ci się (a o b) o c, to nie uwzględniasz w ogóle tego c. Oznacza to, że bierzesz sumę wartości dwóch wyrażeń. Dla większej jasności: weźmy x, y, z, gdzie x + y = 0.9 oraz z = 0.9 Wtedy (x o y) o z = = (x + y) o z, bo x + y < 1, więc bierzemy pierwszy wzór, a następnie (x + y) + z ≥ 1, więc bierzemy drugi wzór, a to daje nam x + y + z − 1. I ta liczba jak najbardziej należy do [0, 1). jc Ci to pokazał w elegancki sposób przy pomocy części ułamkowej, bo tak naprawdę wynikiem zawsze będzie część ułamkowa tej liczby. Jeśli a + b < 1, to sumę tę możesz zapisać w postaci ułamka. Analogicznie jeśli a + b ≥ 1, to a + b − 1 będzie częścią ułamkową tego wyrażenia, bo a, b < 1, wobec tego a + b < 2 ⇔ a + b − 1 < 1. Mam nadzieję, że ten o wiele za długi wywód rozjaśnił Ci sprawę

Shizzer: Dziękuję @znak! Teraz wszystko jasne