Dzielenie wielomianu w pierścieniu bartek2213: Witam, mam problem z podanym przykładem. Jakie powinny być współczynniki a i b żeby wielomian W(x) był podzielny przez wielomian Q(x)? Dzielenie odbywa się w pierścieniu Z₅[x] W(x) = 2x⁵ + ax² + bxx + 4 Q(x) = 2x² + 4 Po wykonaiu dzielnie otrzymuję resztę o postaci: ax² + (b−2)x + 4 I w tym momencie nie wiem jak na tej podstawie wyznaczyć a i b. Wiem, że poprawny wynik to a = 2 i b = 2. Czy ktoś mógłby to wytłumaczyć?

jc: Reszta powinna mieć stopień ≤ 1! Unormowałbym Q: x²+2 Potem wyznaczyłbym W modulo x²+2, modulo 5 x² = 3 R=W = 2*3*3*x+3*a+bx+4=3x+3*a+bx+4=(3+b)x+(3a+4) R=0 o ile b=2 i a=2.

wredulus_pospolitus: W(x) = 2x⁵ + ax² + bx + 4 = 2x⁵ + 4x³ − 4x³ − 8x + 8x + ax² + 4 + bx = = x³(2x² + 4) − 2x(2x² + 4) + ax² + 4 + (b+8)x wniosek: a = 2 b+8 = 0 ===> a = 2 ; b = −8

bartek2213: Przykład jest żywcem wzięty prosto z wykładu, nie obliczana przeze mnie otrzymana reszta powinna być taka jak napisałem czyli ax² + (b−2)x + 4 Tak samo a i b powinny wynosić tyle ile napisalem...

Słoniątko: ale w pierścieniu Z₅ zachodzi −8=2 więc nie ma problemu

wredulus_pospolitus: Nie doczytałem, że poruszamy się w pierścieniu

jc: barek, reszta z definicji ma stopień mniejszy niż wielomian przez który dzielimy. ax²+(b−2)x + 4 nie jest resztą (to najwyżej jakiś krok pośredni w rachunkach).

wredulus_pospolitus: tak jak jc napisał. ax² + (b−2)x + 4 NIE JEST resztą z dzielenia ... ja juz to: (b−2)x + (4 − 2a) a z tego od razu widać jaki jest wynik (aby ta reszta była =0)