funkcje salamandra: Wykaż, że zbiory mają równą moc. a) N i zbiór liczb nieparzystych b) N i Z c) R i (0, 1) Jak się za to zabrać?

ABC: skonstruować bijekcję

wredulus_pospolitus: innymi słowy −−− funkcję która przekształca wszystkie elementy jednego zbioru we wszystkie elementy drugiego zbioru

wredulus_pospolitus: np. (c)

	1
f(x) =		*arctg(x) przekształca Ci R w (0;1)
	π

salamandra: no akurat c) to kosmos, bo nie miałem nigdy funkcji cyklometrycznych. co do a) to przychodzi mi tylko na myśl jakaś funkcja f(x)=2x+1

salamandra: Tylko nie wiem jak to ugryźć, no bo zbiór liczb naturalnych jest większy niż zbiór liczb nieparzystych, bo zbiór liczb naturalnych zawiera te wszystkie nieparzyste, chyba, że ujemne też bierzemy pod uwagę, to wtedy te ujemne nam "wyrównają"

Saizou : a) jest okej, ale musisz pokazać, że ta funkcja jest bijekcją inaczej jest to niepełny dowód.

salamandra: no właśnie problem w tym, że nie wiem jak to pokazać, wiem tylko, że jest to bijekcja

salamandra: Czy można narysować wykres funkcji i na podstawie rysunku jakoś opisowo uargmuentować?

Saizou : c) można też tak np.

	π		π
(0, 1) ~ (−		,		) ← należy to pokazać.
	2		2

	π		π
(−		,		) ~ R (patrz funkcja tg(x) − bijekcja)
	2		2

zatem z relacji przechodniości (0, 1) ~ R

wredulus_pospolitus: (c) no to w takim razie:

	1
f(x) =		(sinx + 1)
	2

wredulus_pospolitus: tfuuu ... bo ma być bijekcja

wredulus_pospolitus: co to znaczy, że: 'zbiór liczb naturalnych jest WIĘKSZY niż zbiór liczb nieparzystych' Właśnie oto chodzi ... że skoro mają taką samą moc to są sobie 'równe'

salamandra: No miałem na myśli to, że liczb naturalnych jest więcej niż liczb nieparzystych (dopóki nie uwzględniłem w główce liczb ujemnych)

wredulus_pospolitus: i ponownie ... jak to jest ich 'więcej' Zbiory mają taką samą moc ... gdyby jednych było 'więcej' to moc tegoż zbioru byłaby większa od mocy drugiego zbioru

wredulus_pospolitus: wersja gdy bierzemy nieparzyste dodatnie tylko pod uwagę: f(x) = 2x + 1 ; x ∊ N

salamandra: no to jeśli bierzemy pod uwagę nieparzyste dodatnie, no to według mnie zbiór N ma większą moc niż zbiór liczb nieparzystych (w naturalnych zawarte są też te nieparzyste).

wredulus_pospolitus: no właśnie nie ... podałem Ci funkcję która jest bijekcją i przekształca jeden zbiór (liczby naturalne) na drugi (liczby nieparzyste dodatnie)

wredulus_pospolitus: ale tutaj chodzi ogólnie o liczby nieparzyste ... te dodatnie pokazałem Ci tylko, abyś zauważył że 'intuicja' tutaj niestety płata figle

salamandra: hm, czyli np. x=0 −−> f(x)=1, x=1 −−−> f(x)=3 itd? Czyli mamy surjekcje, bo dla każdego y mamy x oraz jest różnowartościowa?

wredulus_pospolitus: tak samo jakbyś powiedział, że zbiór (0;1) jest 'mniejszy' niż zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Co na logikę mógłbyś próbować argumentować, że "no bo w R jest cały przedział (0;1) oraz o wiele więcej innych liczb", ale to niestety nie jest poprawna argumentacja

wredulus_pospolitus: salamandra −−− dokładnie ... więc f(x) = 2x+1 jest bijekcją

Maciess: salamandra, zajrzyj sobie do ksiązki pana Zakrzewskiego pt Wykładu ze wstępu do matematyki. Tam w bardzo przystępny sposób wytłumaczone są zagadnienia równoliczności, przeliczalności, nieprzeliczalności i wiele wiele więcej.

salamandra: A jak podejść do b) N i Z? f(x)=x?

Maciess: Tutaj przyda się troche ide podejście. Nie podamy wprost wzoru funkcji tylko ustawimy sobie liczby całkowite w ciąg. Nasz ciąg będzie wyglądał tak 0,1,−1,2,−2,3,−3,... Ustawiliśmy wszystkie liczby całkowite w ciąg czyli przyporządkowaliśmy jej liczbe naturalną.

salamandra: chyba, że mogę sobie wziąć za x liczby całkowite, to wtedy f(x)=|x|?

wredulus_pospolitus: spójrz na to w ten sposób: 1) masz ciąg liczb naturalnych: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... 2) masz ciąg liczb całkowitych, który zapisujesz jako dwa ciągi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... −1, −2, −3, −4, −5, −6, ... Musisz wymyślić funkcję która każdy element z (1) przyporządkowuje jeden element z (2), czyli najlepiej: 0 −> 0 1 −> −1 2 −> 1 3 −> −2 4 −> 2 5 −> −3 6 −> 3 7 −> −4 8 −> 4 itd. analogicznie z nieparzystymi

Maciess: f(x)=|x| To nie jest różnowartościowe, wiec nie jest bijekcją.

salamandra: racja, co do postu wredulusa, nie wiem jak znaleźć wzór takiej funkcji, bo rozumiem, że muszę znaleźć jedną funkcję, nie mogę np. dwóch?

Maciess: Ten wzór istnieje, ale to nie jest coś co widać od razu. Do czego ci jest on potrzebny? Jeśli chcesz jakiś ładny wzorek to weźmy funkcje f f: ℕ→ℤ f(n)=n/2 (dla n parzystych) f(n)=−(n+1)/2 (n nieparzyste)

salamandra: A takie przypisywanie jak zrobił wredulus i Ty zresztą też, to już jest uzasadnienie do zadania?

wredulus_pospolitus: moje nie jest uzasadnieniem ... uzasadnieniem jest podanie funkcji patrz 17:25 to może być funkcja klamrowa

ABC: zrobię chyba o tym film na youtube , jak bardzo dobry maturzysta głupieje gdy spotyka zbiory nieskończone, gdzie zbiór może być równoliczny ze swoim podzbiorem właściwym

salamandra: ok, o to mi chodziło, dzięki, co do c) to mam niestety za ubogą wiedzę, aby to zrobić− nie znam funkcji cyklometrycznych i to co Saizou napisał, też do mnie nie trafia. Wybaczcie za tyle pytań, ale niestety moje zajęcia z elementarnej wyglądają tak, że dostajemy w połowie tygodnia zadania, które sprawdzamy na zajęciach, czyli sami mamy na podstawie tych zadań nauczyć się materiału, a na zajęciach tylko spraqdzamy.

ABC: nie dostajecie chociaż paru rozwiązanych zadań przykładowych?

salamandra: @ABC −−− nie. Po pierwszych zajęciach, które prowadząca prowadziła na tablicy kredowej powiedzieliśmy, że nic na tej tablicy nie widzimy, to stwierdziła, że najlepiej, jak będziemy dostawać zadania do zrobienia, a na ćwiczeniach będziemy je prezentować, czyli zadania, które dostajemy, wyprzedzają zarówno wykład jak i ćwiczenia

salamandra: tzn, do tych zadań są jakieś definicje i czasami przykłady, ale jest to tak minimalistyczne, że muszę tutaj szukać pomocy.

ABC: ona robiła na tablicy i obraz wam przez kamerkę internetową ? niewiele tak widać , próbowałem ze swoimi uczniami też tego powinna udostępniać ekran na jakiejś wirtualnej tablicy

salamandra: tak dokładnie, czarna tablica, a kreda jakaś jasnożółta, straszna pikseloza.