ciag reurencyjny Tojja: zbadaj monotoniczność ciągu danego wzorem rekurencyjnym. Czy mam dobrze? a₁=√2 a_n+1=√2+a_n

an+1		an
	= ... = √(1+		)
an		2

Teraz komentarz:

an+1
	> 1 ⇒ dla każdego n∊N+ ciąg an jest rosnący
an

wredulus_pospolitus: a niby jak Ci to wyszło winno być:

an+1		√2 + an		2 + an
	=		= (		)1/2
an		an		an2

i teraz kombinuj a jak Ty podstawiełaś/−aś zamiast a_n to a₁ to nic dziwnego że Ci wyszło coś takiego

Tojja: Faktycznie, ja źle podstawiłem. Niestety nie mogę skumać co mi to da, że tak zrobiłeś

Tojja: A jakby to zrobić tak: a_n+1−a_n = √2+a_n − a_n > 0 bo to nawet widać √2+a_n > a_n 2+a_n > a_n² a_n(a_n−1)<2 ale dalej nie wiem znowu

wredulus_pospolitus: jak już to a_n² − a_n − 2 < 0 −−−> (a_n − 2)(a_n+1) < 0 −−−> jeżeli a_n ∊ (−1 ; 2) to a_n+1 > a_n więc trzeba wykazać, że a_n < 2 (bo to że jest >0 to chyba wiemy dlaczego)

ABC: wredulus przyszedł i nie zażądał indukcyjnego dowodu że ciąg jest rosnący? krok pierwszy a₁<a₂ , prawda bo √2<√2+√2 Przejście Indukcyjne −− niech a_n−1<a_n dodajemy 2 do obu stron 2+a_n−1<2+a_n pierwiastkujemy− znak nierówności zachowuje się √2+a_n−1<√2+a_n ale to oznacza a_n<a_n+1 co kończy krok indukcyjny