macierze - wyznacznik m: |−1 3 2 −4| |4 2 3 1| |2 4 7 −7| |−1 2 3 4| Dlaczego bez liczenia można stwierdzić, że wyznacznik jest równy zero?

wredulus_pospolitus: Najpierw POPRAWNIE przepisz przykład, później Ci pokażemy dlaczego

m: |−1 3 2 −4| |4 −2 3 1| |2 4 7 −7| |−1 2 3 4|

wredulus_pospolitus: 'bez liczenia' (po prostu patrząc i od razu widząc liniową zależność wektorów) się nie da. Jednak trzeba trochę policzyć

m: To jak to zrobić najszybciej? Trzeba to normalnie policzyć(np. z Laplace'a) tyle, że wyznacznik będzie równy 0?

znak: Możesz metodą Gaussa. Ewentualnie dodawaj kolumny: // dodajemy pierwszą kolumnę do innych tyle razy, aby pierwsze współrzędne były zerowe −1 0 0 0 4 10 11 −15 2 10 11 −15 −1 −1 1 0 // dodajemy drugą kolumnę do trzeciej i czwartej −1 0 0 0 4 10 1 −5 2 10 1 −5 −1 −1 0 −1 // dodajemy trzecią kolumnę do drugiej oraz czwartej −1 0 0 0 4 0 1 0 2 0 1 0 −1 −1 0 −1 I jak się nigdzie nie pomyliłem, to już widać, że mamy dwa liniowo zależne wektory, a więc wyznacznik macierzy jest równy 0.

m: Czy jeżeli mamy taki sam wiersz i kolumnę, to wtedy działa liniowa zależność wektorów?

wredulus_pospolitus: jeżeli za pomocą przekształceń elementarnych możesz doprowadzić do tego że któryś wiersz bądź kolumna będzie miała same 0 to wyznacznik jest równy 0 bo to znaczy wektory zapisane jako wiersze/kolumny są liniowo zależne.

znak: Nie, jeśli mamy dwie takie same kolumny. Wiersze też się nadadzą, bo: −1 3 2 −4 −1 4 2 1 4 −2 3 1 3 −2 4 2 A = 2 4 7 −7, A^T = 2 3 7 3 −1 2 3 4 −4 1 −7 4 Więc widzimy, że transponowanie to zamiana kolumn z wierszami. Ale det(A) = det(A^T), innymi słowy wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy. Stąd możemy patrzeć na liniową (nie)zależność wektorów wierszowych lub kolumnowych − efekt będzie ten sam. A co do takiego samego wiersza i wektorów − nie, a przynajmniej nie wiem nic o takim twierdzeniu. Zawsze więc patrzymy na liniową niezależność (lub też zależność) wektorów wierszowych lub kolumnowych.