nierówności jc: Czy to trudne zadanie? Wykaż nierówności:

4n		2n n		4n
	≤		≤
2 √n				2

a7: chyba chodzi o indukcję, takie najprostsze to ono nie jest....

jc: Tak, chyba chodzi o indukcję.

a7: dla n=1 2=2=2 dla n=2 4√2≤6≤8 dla n=3 32√3/3≤30≤32

4k+1		2(k+1) k+1		4k+1
	≤		≤
2√k+1				2

	2(k+1) k+1
U{22k+1{√k+1≤		≤22k+1

2(k+1) k+1		2k+1(1*3*5*......*2*(k+1)−1)
	=		!}
		k+1

czyli

2k*2k+1		2k+1(1*3*5*......*2*(k+1)−1)
	≤		≤2k*2k+1
√k+1		(k+1)!

2k		3*5*7*.......2k+1
	≤		≤2k
√k+1		(k+1)!

czy to jest dobry trop?

a7: teraz rozbijamy tę nierówność na dwa oddzielne dowody najpierw

3*5*7*......*(2k+1)
	≤2k
(k+1)!

3*5*7*......*(2k+1)≤2^k*(k+1)! 3*5*7*......*(2k+1)≤2^k*(1*3*5*7*.....*(k+1))*(2*4*6*8*10......*k) 3*5*7*......*(k+1)*(k+3)*(k+5)*........(2k+1) ≤ 2^k*(1*3*5*7*.....*(k+1))*2*(2*2)*(2*3)*(2*4)*.........*2*k/2) ?

jc: Trochę się skomplikowało ... I co dalej?

wredulus_pospolitus: 1) n = 1 2) n = k 3) n= k+1

2(k+1) k+1		2k + 2 k+1		2k+1 k		2k+1 k+1
	=		=		+		=

2k k−1

2k k

2k k

2k k+1

2k k−1

2k k

=

+

+

+

= 2*[

+

] =

	2k k		k		2k k		2k+1
= (**) = 2*		*(		+ 1) =		*2
			k+1				k+1

i teraz

2k k		2k+1		4k		2k+1		4k		2(k+1)
	*2		≤ z (2) ≤		*2		≤		*2		=
		k		2		k+1		2		k+1

	4k
		*4 =
	2

	4k+1
=
	2

2k k		2k+1		4k		2k+1
	*2		≥ z (2) ≥		*2		=
		k		2√k		k+1

	4k+1		√k+1		2k+1
=		*		*		=
	2√k+1		2√k		k+1

	4k+1		k+0.5		4k+1
=		*		≥ (***) ≥		* 1
	2√k+1		√k*√k+1		2√k+1

Uwaga **

2k k−1		(2k)!		(2k)!		k		2k k		k
	=		=		*		=		*
		(k−1)!*(k+1)!		k!*k!		k+1				k+1

Uwaga *** x² ≥ (x−a)*(x+a) (w naszym przypadku x = k + 0.5 ; a = 0.5) A i zastosowałem własności dwumianu Newtona:

n k		n−1 k−1		n−1 k
	=		+		(dla 0 < k < n)

oraz:

2n n−k		2n n+k
	=		( dla 0 ≤ k ≤ n )

wredulus_pospolitus: tak chyba troszeczkę prościej będzie

wredulus_pospolitus: poprawka do pierwszego wyrażenia po 'i teraz'

	2k k		2k+1
oczywiście winno być:		*2
			k+1

tak samo przy drugiej nierówności (kopiowałem, więc błąd w zapisie się powielił)

jc: Czyli nie takie straszne zadanie. A teraz dodatkowe zadanie.

	2n n
Obliczyć granicę ciągu		1/n.

	2n n
Słownie: n−ty pierwiastek z		.

wredulus_pospolitus: Ja bym to zrobił tak: wiemy, że:

	2n i		1		2n n
∑i		= 22n −−−>		*22n ≤		≤ 22n
			2n

więc: lim (2²ⁿ⁻¹)^1/n = 2² = 4

	1
lim (		*22n)1/n = 1*22 = 4
	2n

zatem:

	2n n
lim (		)1/n = 22 = 4

Ewentualnie jeszcze pozostaje wykazanie granicy lim ⁿ√1/n = 1

jc: Bardzo ładnie dowolny wyraz sumy ≤ suma wyrazów średni wyraz ≤ największy wyraz

wredulus_pospolitus: Co oczywiście nie jest niczym szczególnie trudnym (1/n)^1/n = e^{ln(1/n) /n} 'szpitalem go' i mamy −> e⁰ = 1