monotonicznosc ciagu *.*: Uzasadnij, że ciąg (an), gdzie a1 = 3, an = 2a_n−1 + 1 dla n ≥ 2, jest rosnący.

*.*: dla n>= 2

wredulus_pospolitus: 1) a_n > 0 −−− wykazujesz to (np.) indukcyjnie czyli: jeżeli a_n−1 > 0 to a_n > 0 2) a_n − a_n−1 = 2a_n−1 + 1 − a_n−1 = a_n−1 + 1 > 0 c.n.w.

*.*: ale czy a_n−1 nie powinno byc rowne 2a_n−2 + 1?

wredulus_pospolitus: tyle się równa ... ale kto Ci każe korzystać ze wzoru dla a_n−1 I po co miałbyś to czynić

*.*: wiec dlaczego skorzystałeś ze wzoru dla a_n lecz dla a_n−1 juz nie ?

wredulus_pospolitus: aby mieć później w zapisie SAMO a_n−1 + 1 (a nie różnice dwóch różnych wyrazów tego ciągu) i wtedy skorzystać z założenia (wcześniej udowodnionego), że wyrazy tego ciągu są dodatnie

Mila: 1) a₁=3− Wyrazy ciągu a_n>0 a_n=2a_n−1+1, dla dla n≥2⇔ a_n−a_n−1=a_n−1+1>0, r=a_n+1−a_n=a_n+1>0 a_n− ciąg rosnący

wredulus_pospolitus: Miluś −−− a skąd wiesz, że a_n > 0

Mila: Stąd, że: a₁=3>0

wredulus_pospolitus: no i to że a₁ > 0 nie oznacza że a_n > 0

Mila: Przecież masz podany rekurencyjny wzór ciągu Jakim cudem podwojona liczba dodatnia zwiększona o jeden może być ujemna ?

Mariusz: a₁=3 a₂=2*3+1=7 a₃=2*7+1=15 a₄=2*15+1=31 a_n=2ⁿ⁺¹−1 Sprawdzamy czy równość zachodzi dla n=1 3=2¹⁺¹−1, 3 =3 Zakładamy że równość zachodzi dla pewnego n=k a_k=2^k+1−1 Sprawdzamy czy równość zachodzi także dla następnika k , n=k+1 a_k+1=2^k+2−1 2a_k+1=2*2^k+1−1 2a_k+1=2(2^k+1−1)+1 2a_k+1=2a_k+1 a_n+1−a_n > 0 (2ⁿ⁺²−1)−(2ⁿ⁺¹−1) > 0 2ⁿ⁺²−1−2ⁿ⁺¹+1 > 0 2ⁿ⁺¹(2−1) > 0 2ⁿ⁺¹ > 0 ∀n∊ℕ 2ⁿ⁺¹ > 0

wredulus_pospolitus: @Miluś ... ale nadal ... nie wykazałaś tego Tak wiem ... jestem upierdliwy

Mila: Dążenie do prawdy jest szlachetne