matematykaszkolna.pl
Ciągi Alicja: Pokazać, że ciąg rekurencyjny c1 = 2, cn+1 = 12 * (cn + 2cn) jest zbieżny i znaleźć jego granicę. Zauważyłem, że ciąg dąży do 2, ale nie wiem jak to uzasadnić, oraz jak najpierw ustalić, że jest zbieżny. Proszę o pomoc
20 paź 08:48
Słoniątko: siedze teraz na nauczaniu zdalnym to nie mam czasu rozpisywac, ale jest to klasyczne zadanie, tu masz link do rozwiązania po angielsku https://math.stackexchange.com/questions/1936957/prove-that-a-sequence-converges-to-sqrt2
20 paź 10:08
jc:
(cn2)2 1 2 

=

(cn+

2 = cn+12
2cn 2 cn 
Wniosek.
  (cn2)2 
0 ≤ cn+12 <

bo an > 1
 2 
Wystarczy nam cn+12 <(cn − p2)2. 0<c12 < 2/3 0<c22 < (2/3)2 0<c32 < (2/3)4 i ogólnie 0<cn2 < (2/3)2n−1, co oznacza, że cn2 i to bardzo bardzo szybko. Można inaczej, ale wtedy nie zobaczymy, jak szybko ciąg jest zbieżny.
20 paź 10:24
jc: Miało być ... Wystarczy nam cn+12 < (cn2)2.
20 paź 10:25
Adamm:
 
 2 
x+

 x 
 
f(x) =

, f([1, 2]) = [2, 3/2] ⊆ [1, 2]
 2 
 1 
|f(x)−f(y)| ≤

|x−y| co łatwo sprawdzić z twierdzenia o wartości średniej
 2 
i łatwych oszacowań na pochodną. Więc f jest kontrakcją skąd cn = fn−1(2) → L gdzie f(L) = L to jedyny punkt stały f, to znaczy cn2.
20 paź 14:53