Ciągi Alicja: Pokazać, że ciąg rekurencyjny c₁ = 2, c_n+1 = ¹₂ * (c_n + ²_cn) jest zbieżny i znaleźć jego granicę. Zauważyłem, że ciąg dąży do √2, ale nie wiem jak to uzasadnić, oraz jak najpierw ustalić, że jest zbieżny. Proszę o pomoc

Słoniątko: siedze teraz na nauczaniu zdalnym to nie mam czasu rozpisywac, ale jest to klasyczne zadanie, tu masz link do rozwiązania po angielsku https://math.stackexchange.com/questions/1936957/prove-that-a-sequence-converges-to-sqrt2

jc:

(cn − √2)2		1		2
	=		(cn+		− √2 = cn+1 − √2
2cn		2		cn

Wniosek.

	(cn − √2)2
0 ≤ cn+1 − √2 <		bo an > 1
	2

Wystarczy nam c_n+1 − √2 <(c_n − p₂)². 0<c₁−√2 < 2/3 0<c₂−√2 < (2/3)² 0<c₃−√2 < (2/3)⁴ i ogólnie 0<c_n − √2 < (2/3)²ⁿ⁻¹, co oznacza, że c_n →√2 i to bardzo bardzo szybko. Można inaczej, ale wtedy nie zobaczymy, jak szybko ciąg jest zbieżny.

jc: Miało być ... Wystarczy nam c_n+1 − √2 < (c_n − √2)².

Adamm:

	2   x+   x
f(x) =		, f([1, 2]) = [√2, 3/2] ⊆ [1, 2]
	2

	1
|f(x)−f(y)| ≤		|x−y| co łatwo sprawdzić z twierdzenia o wartości średniej
	2

i łatwych oszacowań na pochodną. Więc f jest kontrakcją skąd c_n = fⁿ⁻¹(2) → L gdzie f(L) = L to jedyny punkt stały f, to znaczy c_n → √2.