Ciągi
Alicja: Pokazać, że ciąg rekurencyjny c1 = 2, cn+1 = 12 * (cn + 2cn) jest zbieżny i
znaleźć jego granicę.
Zauważyłem, że ciąg dąży do √2, ale nie wiem jak to uzasadnić, oraz jak najpierw ustalić, że
jest zbieżny. Proszę o pomoc
20 paź 08:48
20 paź 10:08
jc: (cn − √2)2 | | 1 | | 2 | |
| = |
| (cn+ |
| − √2 = cn+1 − √2 |
2cn | | 2 | | cn | |
Wniosek.
| (cn − √2)2 | |
0 ≤ cn+1 − √2 < |
| bo an > 1 |
| 2 | |
Wystarczy nam c
n+1 −
√2 <(c
n − p
2)
2.
0<c
1−
√2 < 2/3
0<c
2−
√2 < (2/3)
2
0<c
3−
√2 < (2/3)
4
i ogólnie
0<c
n −
√2 < (2/3)
2n−1, co oznacza, że c
n →
√2 i to bardzo bardzo szybko.
Można inaczej, ale wtedy nie zobaczymy, jak szybko ciąg jest zbieżny.
20 paź 10:24
jc: Miało być ...
Wystarczy nam cn+1 − √2 < (cn − √2)2.
20 paź 10:25
Adamm:
| | |
f(x) = |
| , f([1, 2]) = [√2, 3/2] ⊆ [1, 2] |
| 2 | |
| 1 | |
|f(x)−f(y)| ≤ |
| |x−y| co łatwo sprawdzić z twierdzenia o wartości średniej |
| 2 | |
i łatwych oszacowań na pochodną.
Więc f jest kontrakcją skąd c
n = f
n−1(2) → L gdzie f(L) = L to jedyny punkt stały f,
to znaczy c
n →
√2.
20 paź 14:53