Równanie trygonometryczne bartek2213: Witam, podane mam następujące równanie trygonometryczne: sin(x) + sin(3x) = sin(2x) Rozwiązałem je w następujący sposób: Lewa strona = sin(x) + sin(x + 2x) = sin(x) + sin(x)cos(2x) + cos(x)sin(2x) = = sin(x) + sin(x)(cos²(x) − sin²(x)) + cos(x)(sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x)) = = sin(x) + sin(x)cos²(x) − sin³(x) + 2sin(x)cos²(x) = = sin(x)(1 − sin²(x)) + 3sin(x)cos²(x) = 4sin(x)cos²(x) Prawa strona = 2sin(x)cos(x) Po przyrównaniu obu stron do siebie: 4sin(x)cos²(x) = 2sin(x)cos(x) cos(x) = 1/2 Tak więc otrzymuje dwa rozwiązania, jednak istnieje jeszcze jedno równe x = kπ/2 W jaki sposób je "zgubiłem"?

Eta: 2sin(2x)*cos(x)−sin(2x)=0 sin(2x)(2cosx−1)=0 sin(2x)=0 v cos(x)=1/2 .............

6latek: sinx+sin3x= 2sin(2x)*cos(−2x)= 2sin(2x)*cos(2x)

6latek: racja cosx (zle policzylem ) przepraszam . dzien dobry Eta .

Eta: Witam

bartek2213: Ale chciałbym wiedzieć gdzie w moim sposobie rozwiązywania jest błąd

wredulus_pospolitus: nie ma błędu w przekształceniach ... jest błąd przy interpretacji ostatecznej postaci: 4sinxcos²x = 2sinx*cosx : 1) sinx = 0 2) sinx ≠ 0 −−−> 4cos²x = 2cosx −−−> cosx = 0 3) sinx≠0 i cosx≠ 0 −−−> 2cosx = 1 −−> cosx = 1/2 Zabrakło Ci dwóch pierwszy wniosków

ICSP: Dzielisz stronami przez 4sin(x)cos(x) a to wyrażenie może przyjmować wartość 0. Czyli tak właściwie dla pewnych x dzielisz przez 0 co jest niedopuszczalne. Powinieneś przenieść wszystko na jedną stronę a następnie wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias.

Saizou : Lepiej nie dzielić a włączyć wspólny czynnik przed nawias. Gdy dzielisz gubisz rozwiązania. 4sin(x)cos2(x) = 2sin(x)cos(x) 4sin(x)cos2(x) − 2sin(x)cos(x) = 0 2sinxcosx(2cosx−1) = 0

	1
sinx = 0 lub cosx = 0 lub cosx =
	2

czyli to co napisał @wredulus

Eta: ............. 4sin(x)cos²(x)=2sin(x)cos(x) ( Pewnie podzieliłeś przez sinx ... a tak nie można 2 sinxcosx(2cos(x)−1)=0 sin(2x)(2cosx−1)=0 sin2x=0 v cosx=1/2 .............................

Eta: Ooooo .... jak się "rzucili"

chichi: dzielisz stronami czyli jakbyś zakładał (nie wiem czemu, przecież sin(x) i cos(x) przyjmują wartości równe 0), że wyrażenie przez które dzielisz jest różne od zera, wszak nie można dzielić przez 0!: dla sin(x)=0 mamy:4*0*cos²(x)=2*0*cos(x) ⇒ 0=0 Zatem zróbmy inaczej: 4sin(x)cos²(x)=2sin(x)cos(x) 4sin(x)cos²(x)−2sin(x)cos(x)=0 2sin(x)[2cos²(x)−cos(x)]=0 2sin(x)cos(x)[2cos(x)−1]=0 ...

chichi: @Eta tak myślałem, że zanim wystrugam coś tu na telefonie, to po publikacji będą już wyjaśnienia 😂

Eta:

bartek2213: Ok, zrozumiałem, dzięki wielkie wszystkim za pomoc