Zbadac liniowa niezale_znosc podanych wektorow w odpowiedniej przestrzeni w Landryna: Zbadac liniową niezależność podanych wektorów odpowiedniej przestrzeni wektorowej: (1;−2;3); (1; 0; 1); (−1; 2; 1) w R³. Pokazał by mi ktoś od a do z jak zapisywać i rozwiązywać takie zadanie na tym przykładnie?

wredulus_pospolitus:

⎧	1*x + 1*y + (−1)*z = 0
⎨	(−2)*x + 0*y + 2*z = 0
⎩	3*x + 1*y + 1*z = 0

rozwiązujesz taki układ równań ... jeżeli wyjdzie 'niezerowe' rozwiązanie x,y,z to znaczy że wektory są liniowo ZALEŻNE

Landryna: Wyszło 0,0,0 czyli wektory nie są liniowo zależne tak?

wredulus_pospolitus: tak ... czyli że są to wektory liniowo niezależne

wredulus_pospolitus: inny sposób to próba przekształcenia wektorów do wektorów typu: (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)

Landryna: A gdyby Pan mógł dać mi rade jak zapisać coś takiego w układzie równań? https://imgur.com/mZqUDnD

wredulus_pospolitus: co łatwo (w tym przypadku) zauważyć:

	1
u3 =		(v1 + v3) = (0,0,1)
	4

u₁ = v₂ − u₃ = (1,0,0)

	1
u2 = −		( v1 − u1 − 3u3) = (0,1,0)
	2

A wykazanie, że te trzy wektory (u₁, u₂, u₃) są liniowo niezależne i chyba nie mamy co do tego wątpliwości.

wredulus_pospolitus: Landryna ... ale jaki układ równań? Jak wygląda treść zadania

Landryna: Znaczy to jest podpunkt b) z tego samego zadania " Zbadac liniową niezależność podanych wektorów w odpowiedniej przestrzeni wektorowej:"

wredulus_pospolitus: zauważ, że x₁ ... x_n tworzą macierz górno−trójkątną: n x n. szukaj odpowiedniego twierdzenia, albo zauważ, ze bardzo łatwo możesz doprowadzić do sytuacji, że z macierzy górnotrójkątnej przechodzisz do macierzy diagonalnej o niezerowych wartościach na głównej przekątnej.

Landryna: Jakie te wektory są skomplikowane.... Liczby zespolone były dużo prostsze, nawet tego nigdzie wytłumaczonego nie ma co i jak należy robić w takich zadaniach, żadnych kalkulatorów ani nawet w kosiarkach od algebry Skoczylasa nie ma nic o "przestrzeniach wektorowych". Ten temat jest poruszany w macierzach?

Landryna: Panie @wredulus_pospolitus a może pomógł by mi pan z tym bardziej? szukam i szukam, nawet w pdf Pana kolegów z forum co podsyłali mi rozwiązania lecz nie mogę nigdzie znaleźć jak rozwiązywać takie przykłady, w ogóle nic nie mogę znaleźć jeżeli chodzi o to zasrane wektory

ABC: i to są skutki obcinania programu szkoły średniej... na studiach pierwszy raz widzą układ 3 równań liniowych

znak: Albo korzystasz z metody eliminacji Gaussa na macierzy i sprawdzasz, czy masz jedno rozwiązanie zerowe, albo sprawdzasz, czy zachodzi: α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n = 0 I teraz tak. Jeśli powyższa równość zachodzi tylko dla α₁ = α₂ = ... = α_n = 0, to znaczy, że układ wektorów v₁, ..., v_n jest liniowo niezależny. I tyle, nie ma tu nic więcej. A co do swojego przykładu − zastanów się, kiedy w oczywisty sposób widać liniową niezależność dwóch wektorów.

Landryna: Znaczy ja kompletnie nie wiem jak zabrać się do rozwiązywania tych zadnia. Myśle, że jestem w stanie zrobić je i obliczyć jeżeli ktoś powie mi o co w nich chodzi i od czego zacząć. Bo "zastosuj odpowiednie twierdzenie" w tym wypadku mało pobaga...

wredulus_pospolitus: x_n−1 = (0,0,0,....,0,x_{n−1 n−1}, x_{n−1 n}) x_n = (0,0,0,....,0,0,x_nn) więc robimy operację:

	xn
un =		i otrzymujemy un = (0,0,0,...,0,0, 1)
	xnn

	1
un−1 =		*( xn−1 − xn−1 n*un) i otrzymujemy un−1 =
	xn−1 n−1

(0,0,0,...0,1,0) I tak samo robimy dla w pętli dla pozostałych i otrzymujemy w końcu 'n wektorów': u₁, u₂, ..., u_n

	⎧	0 dla i ≠ j
takich, że u i j =	⎩	1 dla i = j

a7: zad.3 w linku chyba dokładnie analogiczne http://math.uwb.edu.pl/~randrusz/alglin/przlinzad.pdf

Landryna: No tak ale w jaki sposób wypisać α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n = 0 gdzie są wszędzie na końcu x_n... Pokazał by mi któryś z Panów metodę Gaussa na tym przykładzie? Proszę pięknie

Landryna: Oj ale gapa ze mnie nie odświerzyłam

Landryna: Panie @wredulus{_}pospolitus jestem bardzo wdzięczna za Pana rozwiązanie, który Pan napisał dla mnie, lecz ja bez notatek nic nie rozumiem. To analogiczna sytuacja, jak mam np. poprawiać kod który jest napisany wedle inwencji twórczej autora bez notatek

wredulus_pospolitus: Przykładowo: n = 4 mamy wektory x₁, x₂, x₃, x₄ które zapiszę w formie macierzowej

⎧	5 6 −1 6
⎜	0 3 2 0
⎨	0 0 1 2
⎩	0 0 0 8

Krok 1:

	x4
u4 =		= (0,0,0,1)
	x4 4

więc mamy:

⎧	5 6 −1 6
⎜	0 3 2 0
⎨	0 0 1 2
⎩	0 0 0 1

Krok 2: u₃ = x₃ − x_{3 4}*u₄ = (0, 0, 1, 0) a następnie dzielimy przez x₃₃ (w tym przypadku przez 1 więc mamy:

⎧	5 6 −1 6
⎜	0 3 2 0
⎨	0 0 1 0
⎩	0 0 0 1

Krok 3: u₂ = x₂ − x_{2 4}*u₄ = (0, 3, 2, 0) u₂ = u₂ − x_{2 3}*u₃ = (0, 3, 0, 0)

	u2
u2 =		= (0,1,0,0)
	u2 2

więc mamy:

⎧	5 6 −1 6
⎜	0 1 0 0
⎨	0 0 1 0
⎩	0 0 0 1

Krok 4: u₁ = x₁ − x_{1 4}*u₄ = (5, 6, −1, 0) u₁ = u₁ − x_{1 3}*u₃ = (5, 6, 0, 0) u₁ = u₁ − x_{1 2}*u₂ = (5, 0, 0, 0)

	u1
u1 =		= (1, 0, 0, 0)
	u1 1

I w końcu doszliśmy do macierzy

⎧	1 0 0 0
⎜	0 1 0 0
⎨	0 0 1 0
⎩	0 0 0 1

Za pomocą elementarnych przekształceń na wektorach (mnożenie/dzielenie przez skalar oraz dodawanie wektorów) doszliśmy do wektorów jednostkowych, które (z definicji) są liniowo niezależne.

wredulus_pospolitus: równanie: α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n = 0 ⇔ α₁x₁₁ + α₂x₂₁ + ... + α_nx_{n 1} = 0 α₁x₁₂ + α₂x₂₂ + ... + α_nx_{n 2} = 0 .......... α₁x_1n + α₂x_2n + ... + α_nx_{n n} = 0 co w następnym kroku można przerobić na: α₁x₁₁ + α₂x₂₁ + ... + α_nx_{n 1} = 0 0 + α₂x₂₂ + ... + α_nx_{n 2} = 0 .......... 0 + 0 + ... + 0 + α_nx_{n n} = 0

wredulus_pospolitus: i z tej ostatniej pozycji 'idąc od dołu' mamy: krok 1: skoro α_n*x_nn = 0 i wiemy, że x_nn ≠ 0 to α_n = 0 krok 2: skoro α_n = 0 to w (n−1) równaniu mamy α{n−1*x_{n−1 n−1} = 0 i ponawiamy argumentację z poprzedniego kroku Kroki kolejne −−− ponawiamy argumentację z korku 2 I w końcu otrzymamy: α_i = 0 dla i ∊ {1,2,3,...,n−1,n} więc wektory x₁, x₂, ... ,x_n są liniowo niezależne

wredulus_pospolitus: tfu oczywiście kurwa źle zapisałem równanie po podstawieniu powinno być 'na odwrót' czyli w pierwszym równaniu masz tylko α₁*x₁₁ i reszta 0 w drugim α₁*x_{1 2} + α₂*x_{2 2} i reszta 0 ... itd. Jednak postępowanie dalsze będzie dokładnie takie samo.

wredulus_pospolitus: eehhhh ... jak ja nienawidziłem Algebry Liniowej

Landryna: Nooo ona jest okropna, rozumiem Pana a sąd jest w poście z 20;55?

wredulus_pospolitus: podstawienie kolejnych wartości x_{i j} z odpowiednich wektorów x_i danych w zadaniu

Landryna: A mam takie pytanie, odpowiedzą do tego przykładu z "linku" będzie przedstawiony przez cały Pana zapis tak?

Landryna: Achhh ciężko mi to przechodzi przez gardło widząc ilość czasu jaką Pan poświecił na rozpisanie się, lecz ja nadal mało co z tego rozumiem Dlaczego w poście z 20;55 zaczynamy forma macierzowa ma 1 linijkę 5 6 −1 6

znak: Bo sobie wredulus taki obrał przykład. To jest przykład, taki wymyślił. Chodziło o pokazanie Ci na czym to polega, nic więcej. Odpocznij troszkę

wredulus_pospolitus: Proszę Cię ... nie pisz 'per Pan' bo czuję wtedy jaki ja stary pryk jestem tak ... tylko miej na uwadze że ostatni układ powinien wyglądać: α1x11 + 0 + ... + 0 = 0 α1x12 + α2x22 + ... + 0 = 0 .......... α1x1n + α2x2n + ... + αnxn n = 0 I mamy: Krok 1: α₁ = 0 bo ... argumentacja Krok 2: skoro α₁ = 0 to także α₂ = 0 ... argumentacja Krok 3: skoro α₁ = α₂ = 0 to także α₃ = 0 ... argumentacja itd. Krok n: skoro α₁ = α₂ = ... = α_n−1 = 0 to także α_n = 0 ... argumentacja Wniosek i koniec

wredulus_pospolitus: Landryno −−− tak jak @znak napisał ... przyjąłem KONKRETNE wartości w celu pokazania Ci na liczbach jakby to wyglądało ... bo przeważnie 'na liczbach' łatwiej jest komuś zrozumieć ideę, algorytm niż gdy jest to 'na znaczkach' (x_{i j})

wredulus_pospolitus: Jakbyśmy 'na znaczkach' robili to: niech n = 4 a₁x₁₁ + a₂x₂₁ + a₃x₃₁ + a₄x₄₁ = 0 a₁x₁₂ + a₂x₂₂ + a₃x₃₂ + a₄x₄₂ = 0 a₁x₁₃ + a₂x₂₃ + a₃x₃₃ + a₄x₄₃ = 0 a₁x₁₄ + a₂x₂₄ + a₃x₃₄ + a₄x₄₄ = 0 PODSTAWIAMY WARTOŚCI: a₁x₁₁ + 0 + 0 + 0 = 0 a₁x₁₂ + a₂x₂₂ + 0 + 0 = 0 a₁x₁₃ + a₂x₂₃ + a₃x₃₃ + 0 = 0 a₁x₁₄ + a₂x₂₄ + a₃x₃₄ + a₄x₄₄ = 0 I mamy: z równania (1) −−> a₁ = 0 (podstawiamy do pozostałych równań a₁ = 0) z równania (2) po podstawieniu −−> a₂ = 0 (podstawiamy do pozostałych równań a₂ =0) z równania (3) po podstawieniu −−> a₃ = 0 (podstawiamy do pozostałych równań a₃ =0) z równania (4) po podstawieniu −−> a₄ = 0 a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0 wniosek −−− wektory są liniowo niezależne

Landryna: Powoli zaczynam rozumieć na czym polega to zadanie jeszcze w miarę informacji, a₁ którego użyłeś jest odpowiednikiem x₁ w zapisie przykładu. Forma zapisu (a₁x₁₁...) jest wyliczona z zapisu macierzowej, który obliczamy wedle analogicznego przykładu z 20;55. Jednak, skąd wiemy, że mamy to wszystko przyrównać do 0 oraz co mówią nam informacje x_ii ≠ 0 dla i ∊ {1,2,....,n} skoro "ii" nie pojawi nam się nigdzie?

wredulus_pospolitus: x_ii ≠ 0 dla i∊{1,2,...,n} oznacza dokładnie tyle co: x₁₁ ≠ 0 ∧ x₂₂ ≠ 0 ∧ x₃₃ ≠ 0 ∧ ... x_{n−1 n−1} ≠ 0 ∧ x_nn ≠ 0 'indeks i' zmienia się od 1 do n włącznie. Jak widzisz, pierwszy zapis jest o wiele 'krótszy' moje a₁, a₂, ..., a_n to oczywiście są α₁, α₂, ... ,α_n ... po prostu 'a' mam na klawiaturze i szybciej było mi tak to napisać

wredulus_pospolitus: Skąd wiemy, że mamy 'to wszystko przyrównać do 0' ... 18:12 −−− tworzymy układ równań, każde równanie przyrównujemy do 0

wredulus_pospolitus: A jeżeli chciałabyś zrozumieć skąd i dlaczego takie równania tworzymy to ... niestety odsyłam do wykładów, bo de facto potrzebny by był (przynajmniej krótki) wykład

Landryna: Ojj miałam wykład, 2,5 godzinny z przestrzeni wektorowej tyle, że nic nie rozumiałam. Przy liczbach zespolonych było tak samo tylko tam dupe uratował mi etrapez no i oczywiście cała kadra wybitnych matematyków na tym forum niestety algebra liniowa musi być niszowym tematem bo jest jej według mnie bardzo niewiele w internecie a zadnia zadane przez PANIĄ DOKTOR są niszowe, praktycznie nie występują wgl...

Landryna: A gdybyś mógł mi objaśnić jeszcze to Nie zaborczo rozumiem co tutaj się stało "krok 1: skoro α_n*x_nn = 0 i wiemy, że x_nn ≠ 0 to α_n = 0 krok 2: skoro α_n = 0 to w (n−1) równaniu mamy α_n−1*x_n−1n−1 = 0 i ponawiamy argumentację z poprzedniego kroku Kroki kolejne −−− ponawiamy argumentację z korku 2 I w końcu otrzymamy: α_i = 0 dla i ∊ {1,2,3,...,n−1,n} więc wektory x₁, x₂, ... ,x_n są liniowo niezależne"

wredulus_pospolitus: Tak jak później napisałem ... ZROBIŁEM ŹLE RÓWNANIA Zamiast patrzeć na 20:55 spójrz na 21:42 I zastanów się 'skąd wiemy że a₁ = 0' I zastanów się 'skąd wiemy później, że a₂, a₃ itd. także będą =0'

wredulus_pospolitus: I teraz spójrz na 21:34 −−− tu masz dobrze równania dla Twojego przykładu (b) ... czyli bez określonej wartości wymiaru 'n'., ale argumentacja będzie dokładnie taka sama

wredulus_pospolitus: Algebra Liniowa ... legenda mówi, że algebrę liniową wymyślili filozofowie, którzy stwierdzili, że matematyka jest zbyt logiczna i jednoznaczna, dlatego też 'zaszczepili' element filozofii w niej, co by była bardziej 'ludzka'.

Landryna: bo a₁ jest wektorem zerowym? Dobrze rozumiem?

wredulus_pospolitus: a₁ to NIE JEST wektor to jest skalar (liczba) ale DLACZEGO jest = 0 ... i odpowiedź "bo właśnie tego chcemy, aby był równy 0" nie jest odpowiedzią której oczekuję

wredulus_pospolitus: spójrz na wpis: 22:22 później spójrz na równanie z 21:42 (pierwsze po podstawieniu wartości) co widzisz więc czemu a₁ = 0

Landryna: No bo jeżeli mnożymy przez 0 to cały iloczyn skalarny jest równy 0 to znaczy, że układ wektorów x₁1, ..., x_1n jest liniowo niezależny, trafiłam

znak: Jaki iloczyn skalarny? Terminologia jest ważna. Mamy równanie a₁1x₁ = 0. Ponadto wiadomo, że x₁ jest dowolne. Wniosek..?

znak: Tam oczywiście a₁₁, błąd formatowania.

Landryna: No to znaczy, że jeżeli x₁1 jest dowolne a równanie a₁*x₁₁ = 0 by zawsze było spełnione to a₁ musi być równe 0

znak: Landryno, jak masz siły i chęci, to polecam Kostrikina, część pierwsza (pierwsze działy) oraz część druga. W określaniu, czy dany układ wektorów jest liniowo niezależny korzystamy z faktu, że jedynie wektor zerowy jest zerową kombinacją liniową danych wektorów. Jeśli wektor zerowy uzyskamy w inny sposób, przy pomocy innej kombinacji niż a₁ = a₂ = ... = a_n = 0, to oznacza, że dane wektory są liniowo zależne.

znak: Tak, a to nam załatwia tylko pierwsze równanie. Teraz z tym wnioskiem przechodzisz do następnego równania, a potem zbierasz te wnioski i idziesz do następnych równań. Dopiero wtedy, gdy pokażesz, że wszystkie współczynniki muszą być równe i wynoszą 0, to dowiedziesz, że układ jest liniowo niezależny.

Landryna: aaaaa dobra, rozumiem już o co chodzi. Tutaj mamy zbadać, niezależność wektorów więc to jest tak jakby "wymóg zadania" by użyć tego tak ? " a₁ = a₂ = ... = a_n = 0"

Landryna: Aaaaa dobra, Jezus zadanie do ćwiczeń a robiłam je 4h z Państwa pomocą

znak: Tak, taką mamy definicję, więc taki warunek musi spełniać układ wektorów liniowo niezależnych. "Zbadaj, czy układ jest liniowo niezależny" można przeformułować na "Sprawdź, czy a₁ = a₂ = ... = a_n = 0"

znak: Bywa i tak, następne z tą wiedzą pójdą już z górki.

Landryna: A jak to wygląda w wypadku "Zbadaj, czy układ jest liniowo zależny" ?

znak: A jaka jest różnica w matematyce miedzy "Sprawdź", a "Zbadaj"? Nie popadajmy w paranoję, to jest to samo.

6latek: Dwa wektory z ktorych jeden powstaje z drugiego przez przemnozenie prze jakas liczbe nazywamy liniowo zaleznymi Z okreslenia mnozenia przez liczbe wynika bezposredn Twierdzenie Wektory liniowo zalezne sa rownolegle Twierdzenie odwrotne Kazde dwa wektory rownolegle sa liniowo zalezne .

Landryna: Okej, dziękuje ślicznie wredulus_pospolitus za poprowadzenie mnie i dokończenie ze mną tego podpunktu. Twoja pomoc jest niewyceniona miłej nocy życzę. A także tobie @znak, za trafne komentarze.

znak: Luzik, poradzisz sobie, bo uparcie próbujesz zrozumieć o co chodzi.