Miara Jordana - mierzalność Julia: Udowodnić, że jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana i ma miarę 0, to każdy jego podzbiór jest mierzalny w sensie Jordana (i ma miarę 0). Jeśli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana i ma miarę 0 to m_* (E) = m^* (E) = m(E) = 0. Niech F⊂E wtedy z własności miary Jordana m_* (F) ≤ m_* (E) oraz m^* (F) ≤ m^* (E). Wiemy, że miara zbioru E wynosi 0 zatem m_* (F)≤0 i m^* (F)≤0 a ponieważ miara nie może być ujemna więc m_* (F)=m^* (F) = 0. Z definicji miary Jordana dany zbiór jest mierzalny jeśli jego miara wewnętrzna i zewnętrzna są sobie równe więc m_* (F) = m^* (F) = m(F) = 0. Czy taki dowód jest poprawny? Jeśli nie to co powinnam dodać/zmienić?

ABC: nie ma wprost powiedziane, dlaczego istnieje miara zewnętrzna i wewnętrzna zbioru F

Julia: Wystarczy dodać, że jeśli E jest zbiorem mierzalnym a F jest w nim zawarte to także jest mierzalny (ponieważ jest zbiorem ograniczonym). Więc istnieje miara zewnętrzna i wewnętrzna?

ABC: a ty to udowadniasz w jakiej przestrzeni i dla jakich zbiorów? w R² dla wielokątów możesz tak argumentować

Julia: W uwagach do zadania mamy napisane, że rozwiązanie nie zależy od tego o jakim wymiarze mówimy i jeśli komuś wygodniej to może myśleć o mierze Jordana w R²

ABC: ale czy rozpatrujecie zbiory nieograniczone na przykład linia prosta na płaszczyźnie? bo ty zakładasz że F jest ograniczony?

Julia: Zakładam, że F jest ograniczony bo jeśli jest zawarty w E − a E jest mierzalny w sensie Jordana czyli musi być ograniczony bo tylko dla takich zbiorów potrafimy wyznaczyć miarę Jordana, więc zbiór zawarty w zbiorze ograniczonym też jest ograniczony tak?

ABC: weź sobie książeczkę dla dawnych szkół średnich , Biblioteczka Matematyczna tom 37 Lesław Szczerba "O mierze Jordana" (dawno temu piłem piwo z autorem ) a zobaczysz że można też nieograniczone figury mierzyć miarą Jordana

Julia: Wiem, że są wyjątki (np. zbiór Cantora), ale na wykładzie przyjmujemy, że muszą to być zbiory ograniczone.

ABC: no to przy ograniczonych twoja argumentacja jest dobra

Julia: ok, dziękuje