Zbieżność Kacper: Zadanie 3. Stosując twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, zbadaj zbieżność podanych ciągów: d) d1 = d > 0, dn+1 = ln (1 + dn) ;; f ) fn = 1 + 1/2 + . . . +1/n − ln

jc: ln(1+x) ≤ x Jeśli x ≥0, to ln(1+x) ≥ 0

Adamm: Twierdzenie (Edelstein) Niech (M, d) będzie przestrzenią metryczną zwartą i T : M → M spełnia warunek d(Tx, Ty) < d(x, y), gdy x ≠ y. Wtedy T ma dokładnie jeden punkt stały z i z = lim_n→∞ Tⁿ(y) dla dowolnego y ∈ M. Niech f(x) = ln(x), f: [0, d] → [0, d]. Z twierdzenia o wartości średniej

	1
|f(x)−f(y)| = |x−y|*		gdzie c jest pomiędzy x a y, więc |f(x)−f(y)| < |x−y| dla x ≠ y.
	1+c

Biorąc x = 0, widzimy że wszystkie założenia twierdzenia Edelsteina są spełnione. Zatem fⁿ(x) → 0 dla dowolnego x, tzn., ciąg d_n jest zbieżny do 0 dla dowolnego d ≥ 0.

Adamm: f_n+1−f_n = 1/(n+1) − ln(1+1/n) ≤ 1/(n+1)−1/n < 0 zatem f_n maleje więc jest zbieżny f_n → γ z definicji, to tak zwana stała Eulera

Adamm: oczywiście mamy f_n = 1+1/2+...+1/n − ∫₁ⁿ 1/x dx = ∑_i=1ⁿ⁻¹ (1/i − ∫_iⁱ⁺¹ 1/x dx) + 1/n ≥ 0