Rówanie zespolone Marcel: Cześć, mam pytanie, jak rozwiązywać równie zespolone 4 i 6 stopnia? 1) z⁴ + 3z² − 4 = 0 2) z⁶ − (1+i)z³ −2 +2i = 0

ICSP: 1) Podstawienie t = z² 2) podstawienie t = z³

Marcel: A co w przypadku gdy za liczbę zespoloną wstawiam t czyli w 1) t = z² I otrzymuje t = −4 oraz t = 1, założenie t>0 jest potrzebne w zbiorze liczb zespolonych?

ICSP: W zbiorze liczb zespolonych nie ma założeń na t. Każde równanie z² = liczba zespolona będzie miało dwa rozwiązania. W ogóle w zbiorze liczb zespolonych nie ma relacji porządku czyli zapis t > 0 nie ma sensu

Marcel: A jak przejść z z = √−4 na z = 2i oraz z = −2i

ICSP: √−4 = 2√−1 = {2i , −2i} jak tego nie widzisz możesz poprzez układ równań. a,b − liczby rzeczywiste a + bi = √−4 a² − b² + i2ab = −4 a² − b² = −4 2ab = 0 a = 0 b = −2 lub a = 0 b = 2

Serce w rozterce : −4=4i²

Marcel: Widzę poprzesz układ równań ale nie widzę tego w zapisanie 1) @ICSP tak jakby nagle dodajesz −2i

ICSP: Wynika to bezpośrednio z definicji jednostki urojonej. Wiesz w ogóle czym jest liczba i?

Marcel: Jednostką urojoną czyli możemy zapisać liczbę 4,0 w sposób 4i

Serce w rozterce : Wydaje mi sie ze raczej powinno byc z²=√−4 Jesli mamy rownanie x²+1=0 w liczbach R nie ma rozwiazania natomiast w liczbach zespolonych mozna takie rownanie rozwiazac ,bo mozna wyciagnac pierwiastek kwadratowy z (−1) Pierwiastkami tymi beda liczby zespolone (i) oraz (−i) czyli √−1=i oraz −i Teraz i²=−1 −4= 4*i²=4*(−1) √4*(−1)= √(−1)*√4= i2=2i lub −i2= 2(−i)

Marcel: A dziękuje ślicznie, chyba juz rozumiem o co chodzi. Ma ktoś pomysł na b? Znaczy podstawić to t² za z³ ale mi coś nie wychodzi

Marcel: znaczy t = z³*

Serce w rozterce : Az tak bardzo sie nie znam ale dostaniesz do rozwiazania t²−(1+i)t−2+2i=0 To juz rozwiazesz wracasz do posdtawienia i mysle ze tutaj beda potrzebne pierwiastki z jednosci dla rownania stopnia trzeciego ω_o=1

	−1+i√3
ω1=
	2

	−1−i√3
ω2=
	2

Mila: 1) t²−(1+i)t−2+2i=0 Δ=(1+i)²−4*(−2+2i)=2i+8−8i=8−6i= (−3+i)²

	1+i−3+i
t=		lub t=1+i+3−i}{2}
	2

t=−1+i lub t=2 2) z³=2 lub z³=−1+i 2.1) z³=2 z₀=³√2

	2kπ		2kπ
zk=z0*(cos		+i* sin		) dla k∊{1,2}
	3		3

Spróbuj sam sobie poradzić, pisz w razie kłopotów. 2.2) z³=−1+i Oblicz z₀ z postaci trygonometrycznej

Marcel: w taki sposób, że z⁶ − (1+i)z³ −2 +2i = 0 otrzymałem: z³ = t t² − (1+i)t −2 + 2i = 0 Δ=8−6i √Δ = (3−i)(−3+i) I co zrobić w takim przypadku? Tzn. Co zrobić dalej Bo punkt 2.2 nie rozumiem

Mila: Źle tam zapisałam ułamek. Δ=(8−6i)=(−3+i)²=(3−i)² wybierasz jedną wersję: np: (−3+i)

	1+i−(−3+i)		1+i+3−i		1+i+(−3+i)		−2+2i
t=		=		=2 lub t=		=		=−1+i
	2		2		2		2

albo (3−i)

	1+i−(3−i)		1+i−3+i		1+i+3−i
t=		=		=−1+i lub t=		=2
	2		2		2

√Δ to jest zbiór {−3+i,3−i}

Marcel: oki dziękuje a potem liczę pierwiastek 3 stopnia z tych liczb co wyszyły i finito?

Marcel: BB

Mila: Tak.