Wykaz Kartofel : Wykaz że 4n³−n jest podzielne przez 3

Mariusz: Można na kilka sposobów 1 indukcja 2 rozkład Dla n=0 3|0 Zakładasz że podzielność zachodzi dla pewnego n = k 3|4k³−k Sprawdzasz czy podzielność zachodzi dla n=k+1 4(k+1)³−(k+1)=4k³+12k²+12k+4−k−1 4(k+1)³−(k+1)=4k³−k + 12k²+12k+3 4(k+1)³−(k+1)=4k³ − k+3(4k² + 4k + 1) 4k³ − k jest podzielne przez 3 z założenia indukcyjnego a 3(4k² + 4k + 1) jest podzielne przez 3 jako iloczyn trójki i liczby naturalnej zatem 3|4n³−n dla n = k+1 a więc ∀n∊ℕ 3|4n³−n

Kartofel : A z rozkładu jak to zrobić? Bo wychodzi mi n(2n−1)(2n+1) I nie wiem jak to mogę wyjaśnić

kerajs:

	(2n−1)(2n)(2n+1)
...=
	2

Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych występujących w liczniku dokładnie jedna jest podzielna przez 3, i przynajmniej jedna jest parzysta.

getin: Można też rozważyć 3 przypadki: 1) liczba n jest podzielna przez 3, tj. n=3k dla całkowitego k 2) liczba n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, tj. n=3k+1 3) n dzielone przez 3 daje resztę 2, tj. n=3k+2 1) 4n³−n = 4*(3k)³−3k = 4*27k³−3k = 81k³−3k = 3(27k³−k) 2) 4n³−n = 4(3k+1)³−(3k+1) = 4(27k³+27k²+9k+1)−3k−1 = 108k³+108k²+33k+3 = = 3(36k³+36k²+11k+1) 3) 4n³−n = 4(3k+2)³−(3k+2) = 4(27k³+54k²+36k+8)−3k−2 = 108k³+216k²+141k+30 = = 3(36k³+72k²+47k+10) Za każdym razem, czy to 1), 2) czy 3) przedstawiliśmy liczbę 4n³−n jako iloczyn trójki i liczby całkowitej co oznacza że 4n³−n jest podzielne przez 3

jc:

	n+1 3
4n3−n=3 [n3 + 2		]

Minato: albo tak 4n³ − n = 4n³ − 4n + 3n = 4n(n²−1) + 3n = 4(n−1)n(n+1) + 3n + komentarz