Macierz symetryczna, pokazać wyznacznik >0 INSTRUKTOR: Wykazać, że macierz A, (2x2), symetryczna, dodatnie określona ma det(A) >0 Czy bez danych dotyczących wartości da sie temu dowieść? a b b c det = ac−b², a*c >0, b² >0, no ale trzeba byoby wykazać, że ac−b² >0 ac > b² a tutaj informacji brak

Kładraty: https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Sylvestera Innymi słowy skoro jest dodatnio określona, to w szczególności minor 2x2 jest dodatni, co kończy dowód.

INSTRUKTOR: " to w szczególności minor 2x2 jest dodatni, co kończy dowód." Mógłbyś nieco rozwinąć temat? nie do końca rozumiem

Kładraty: Patrz na samą definicję. Macierz jest dodatnio określona wtedy, gdy wiodące minory główne są dodatnie. Na przykładzie Twojej macierzy masz dwa minory główne: M₁ = a oraz M₂ = A. Skoro A jest dodatnio określona, to det(M₁) > 0 oraz det(M₂) > 0. Ale det(M₂) = det(A), bo M₂ = A. Stąd det(A) > 0. Zobacz link, który podałem. Tam masz dokładniej pokazane o co chodzi na przykładzie macierzy rozmiaru n x n

jc: Jeśli A jest macierzą dodatnio określoną, to dla pewnej macierzy M M^T A M = I Stąd 1 = det(M)² det(A) i det (A) > 0.

jc: Skąd te minory?

jc: Skąd bierzecie takie egzotyczne definicje z minorami? Macierz symetryczna dodatnio określona to taka macierz, że dla dowolnego niezerowego wektora v: v^t A v > 0. Diagonalizacja Lagrange, mówi nam, że dla pewnej macierzy M M^t A M = D, gdzie d jest macierzą diagonalną. W przypadku macierzy dodatnio określonej D ma na przekątnej same liczby dodatnie. Stąd det(M)² det(A) = det(D) > 0 i dalej det(A) > 0. Minory pojawiają się w twierdzeniu, którego dowód oparty jest na fakcie, który mamy właśnie pokazać.

Kładraty: Więc zapytam: mamy udawać, że minorów nie ma (jeszcze), bo dowodzimy faktu, na którym opiera się twierdzenie, w którym zostały one wprowadzone? Nie każdy musi mieć pojęcie, skąd się dane pojęcie bierze, by z niego korzystać. Stąd próba korzystania przeze mnie z kryterium. Oczywiście bardziej podoba mi się Twoja wersja dowodu, jest bardziej formalna.

jc: Dla macierzy 2x2 dowód jest zupełnie szkolny.

	a b b c
A =

Kiedy dla dowolny x, y (nie równych równocześnie 0) Q(x,y) = ax² + 2bxy + cy² > 0? a>0. W przeciwnym wypadku Q(1,0) = a<0. Q=a(x+by/a)²+ (c−b²/a)y² Podstawiając x=−by/a widzimy, że c−b²/a powinno być dodatnie, a więc ac−b²>0. ac−b² = wyznacznika (A).

jc: Jeszcze bardziej po szkolnemu. ax²+2bxy+cy² > 0 Dla x=1, y=0 mamy Q=a>0. Dla y=1 mamy Q=ax²+2bx+c>0, przy czym wiemy już, że a>0. Dlatego Δ=4(b²−ac) < 0, czyli ac−b² > 0.