Dowód nierówności Damian#UDM: Udowodnij, że

	a		1		1
|		−		| >
	b		√2		4b2

dla a, b ∊ N/{0}

Damian#UDM: b²(√2a−b)² > ¹₈ , czy to już nie jest rozwiązanie? Z moich przemyśleń i obliczeń, np. dla a = 1 i b = 1, wynika, że, najmniejsza przewidywana wartość tego wyrażenia przedstawia się następująco: (√2a−b)² ≈ 0,19 dla a=1 i b=1, (√2−1)² > ¹₈, dla innych liczb moim zdaniem ta nierówność jest zawsze spełniona. Czy moja przemyślenia są poprawne? Proszę o pomoc!

a7: nie wiem czy dobrze liczę ale dla a=4 i b=8 nie wychodzi mi

a7: nie, jednak źle policzyłam ...

a7: no to chyba dobrze!

Damian#UDM: Mi natomiast dla a=4 i b=8 8²(4√2−8)² > ¹₈ ≈351,36 > 0,125

a7: tak, tak no przecież napisałam, że źle policzyłam chyba jest OK

a7: ale lepiej , żeby potwierdził ktoś jeszcze

Damian#UDM: Też mi się wydaje, że trzeba to bardziej fachowo udowodnić Dziękuje a7 za pomoc

jc: ≤ Rozpatrujemy dwa przypadki.

	1
(1) |a/b − 1/√2| ≥ 1/2. Wtedy |1/b 1/√2| >		.
	4b2

(2) |a/b − 1/√2| ≤ 1/2. Wtedy |a/b + 1/√2| = |a/b − 1/√2 + √2| ≥ √2 − |a/b−1/√2| ≥ √2 − 1/2 > 1/2 1 ≤ |2a²−b²| = 2b² |a/b − 1/√2| |a/b + 1/√2| < b² |a/b − 1/√2|

	1
Stąd |a/b − 1/√2| > 1/b2 >
	4b2

Faktycznie mamy silniejsze nierówności, chyba że coś pomyliłem.