Równanie logarytmiczne Damian#UDM: Rozwiąż równanie log(log(x)) + log(log(x³) −2) = 0

ite: x>0 −log(log(x)) = log(log(x³)−2) log(log(x))⁻¹ = log(3*log(x)−2) (log(x))⁻¹ = 3*log(x)−2

1
	= 3*log(x)−2
log(x)

znak: log(log(x)*(log(x³) − 2)) = 0 log(log(x)log(x³) − 2log(x)) = 0 Stąd korzystając z właściwości logarytmów: log(x)log(x³) − 2log(x) = 1 3log(x)log(x) − 2log(x) = 1 3log²(x) − 2log(x) − 1 = 0 t = log(x) 3t² − 2t − 1 = 0 Δ = 4 + 12 = 16

	2 − 4		1
t1 =		= −
	6		3

	2 + 4
t2 =		= 1
	6

Stąd

	1
(t +		)(t − 1) = 0
	3

Więc ostatecznie wystarczy rozwiązać

	1
log(x) = −		oraz log(x) = 1
	3

Wobec tego x = 10^−1/3 lub x = 10 Oczywiście do tego wszystkiego trzeba wziąć pod uwagę założenia, że: (1) log(x) > 0 (2) log(x³) − 2 > 0

	1
Z tych dwóch nierówności wynika, że x > 1001/3, więc x = −		odpada. Tak więc pozostaje
	3

nam x = 10.

chichi: Trochę inaczej... log[log(x)]+log[log(x)³−2]=0 , niech log(x)=t log(t)+log(3t−2)=0 ⇒ log[t(3t−2)]=0 ⇒ 10⁰=t(3t−2)

chichi: Albo sprawdzamy podstawiając rozwiązania do równania, dla x=10^−1₃ w 1 logarytmie otrzymamy:

	1
log(log10−13)=log(−		).... Metoda starożytnych, która pozwala na ominięcie
	3

dziedziny po prostu podstawiając na koniec rozwiązania do równania i sprawdzanie prawdziwości jest przydatna w przykładach z dużo bardziej skomplikowaną dziedziną niż w tym przykładzie, tutaj szybciej tak jak @znak pokazał. Ale warto znać obie metody. Miłego popołudnia wszystkim życzę!

Damian#UDM: Bardzo dziękuje wam za pomoc! Ja niestety próbowałem inaczej i doszedłem do samego x i log(x), z czego nie mogłem nic zrobić dalej. x∊(³√100, +∞) log[log(x)(log((x³)−2)]=log(1) log(x)*(log((x³)−2)=log(10) x*log((x³)−2)=10 3xlog(x) − 2x = 10, i tutaj nie wiedziałem dalej co zrobić. Dziękuję za pomoc!