Proszę szybko K98M: udowodnij że średnia harmoniczna dodatnich liczb a i b jest nie większa od ich średniej arytmetycznej

ICSP:

	1		1
Skoro a i b są liczbami dodatnimi to		,		istnieją. Ponadto kwadrat dowolnej
	√a		√b

liczby rzeczywistej jest nieujemny dlatego:

	1		1
(		−		)2 ≥ 0
	√a		√b

co daje

1		1		2
	+		≥
a		b		√ab

i dalej :

2
	≤ √ab
1   1   + a   b

Ponadto z nierówności: (√a − √b)² ≥ 0 wynika nierówność

	a + b
√ab ≤
	2

więc ostatecznie H₂ ≤ A₂

ICSP: Inne podejście: Najpierw pokazujemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej a mamy nierówność:

	1
(1) a +		≥ 2
	a

Istotnie: Skoro a > 0 to √a istnieje, ponadto kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc w szczególności:

	1
(√a −		) ≥ 0
	√a

Co po rozpisaniu daje (1). Teraz szacujemy wyrażenie:

	1		1		a		b
(a + b)(		+		) = 2 +		+		≥ 2 + 2 = 4
	a		b		b		a

	1		1
Dzieląc stronami przez 2(		+		) dostajemy:
	a		b

H₂ ≤ A₂

Saizou : Z nierówności Cauchy'ego mamy

x+y
	≥ √xy
2

	1		1
podstawiamy x =		, y =
	a

1   1   + a   b		1		1
	≥ √		*
2		a		b

Nakładamy funkcję f(x) = x⁻¹, która jest malejąca na przedziale (0, +∞), zatem zmieni się znak nierówności

1		1
	≤
(1/a)+(1/b)   2		1   1   √ *   a   b

2
	≤ √ab
1   1   + a   b

z przechodniości relacji nierówności mamy

a+b		2
	≥
2		1   1   + a   b

ckd