Obliczyć całkę podwójną Damian#UDM: Obliczyć całkę podwójną ∫∫_Dx²ydxdy , gdzie D={(x,y)∊R² : x²+y²−2x≥0, x²+y²−4x≤0, y≥0} Są dwa okręgi o₁ : S₁ = (1,0) , r₁ = 1 i o₂ : S₂ = (2,0), r₂ = 2 Korzystam z postaci biegunowych y = r*sinα x = r*cosα Jakobian przekształcenia J = r parametryzacja dla r : 0 ≤ r ≤ 4 parametryzacja dla α : 0 ≤ α ≤ π Liczę całkę ∫₀⁴∫₀^π(r³cos²α*sinα)dαdr Czy takie obliczenia będą poprawne? Proszę o pomoc!

ICSP: twój obszar całkowania to połowa rogalika. Twoja parametryzacja obszaru daje koło. Podstawiasz x i y do warunków a następnie wyznaczasz ograniczenia na r i α.

ICSP: półkole*

Damian#UDM: Chciałbym powiedzieć, że wiem jak to zrobić, niestety nie mam zielonego pojęcia

ICSP: Warunki które określają twój obszar(są 3): ... Podstawienie które zastosowałeś: ... Podstawiasz do warunków i dostajesz trzy nierówności z α i r: ... Rozwiązujesz je (to już poziom liceum). Pola z ... wypełniasz sam.

Damian#UDM: Okej, czyli trzeba te warunki rozpisywać jak jest tutaj napisane : http://matematykadlastudenta.pl/strona/1243.html Chyba zrozumiałem. A tak wgl to w mojej całce z 23:17 powinno być r⁴ ?

ICSP: Powinno być r⁴. W linku sytuacja jest mocno uproszczona, ale właśnie tak masz zrobić. Obliczenia będą trochę trudniejsze.

Damian#UDM: Po podstawieniu współrzędnych biegunowych otrzymałem następujące nierówności: r² − 4rcosα ≤ 0 i r² − 2rcosα ≥ 0 i sinα ≥ 0 2cosα ≤ r ≤ 4cosα oraz 0 ≤ α ≤π Czy jak otrzymane końcowe wartości przedziału r podstawie do liczenia całki α to będzie poprawnie?

Damian#UDM: W sumie napisałem głupotę 00:35 − do liczenia całki r to będzie ok?

ICSP: Granice wyglądają w porządku (ale godzina późna, więc nie gwarantuję) ∫∫r⁴cos²(α)sin(α)drdα Ponieważ r w graniach masz ograniczony przez funkcję zależną od drugiej zmiennej (α) to musisz najpierw całkować po r a potem po α.

Damian#UDM: Super, dziękuje ICSP za pomoc! Jak najbardziej dobrej nocy życzę

piotr: 0 ≤ α ≤π/2

Damian#UDM: Piotr, czemu taki przedział, jeśli jak zaznaczę te nierówności w układzie współrzędnych to moje pole do sparametryzowania to ćwiartka koła z prawej na x−ach od 2 do 4 i rogalik na x−ach od 0 do 2? Chyba, że coś źle intepretuję, to proszę o poprawienie mnie!

Damian#UDM: Sinus jest nieujemny na przedziale od 0 do π, stąd wynika mój wybrany obszar kątów do parametryzacji

ICSP: promień musi być dodatni.

Damian#UDM: Aha, już rozumiem, czyli 2cos@ i 4cos@ muszą być dodatnie?

Damian#UDM: Dobrze, zatrzymałem się w tym miejscu: ∫₀^π₂(⁹⁹²₅cos⁷(α)*sin(α))dα Jak policzyć ∫(cos⁷(α)*sin(α))dα ?

student: serio nie wiesz?

ICSP: widocznie pojedynczych do końca nie przerobił. t = cos(α) Stałą wyrzuć przed całkę.

ICSP: i zauważ, że po podstawieniu zmienią się też granice całkowania

Damian#UDM: Myślałem, że nie wyjdzie przez podstawienie, a jedynie przez części, a jednak da się

	−cos8(α)
Sama całka nieoznaczone wyszła mi		+ C, a w jaki sposób zmieni się obszar
	8

całkowania to już niestety nie wiem od czego to zależy

Damian#UDM: Zmienią się na <−1,1>?

Jerzy:

	π		π
Jeżeli α zmienia się od 0 do		, to t = cosα zmienia się od cos0 do cos
	2		2

Damian#UDM: Aha, czyli jeśli będę miał t=sinα, i obszar całkowania zmienia mi się od π do 0, to po podstawieniu zmienia mi się od sinπ do sin0?

Jerzy: Dokładnie tak.

Damian#UDM: Super, bardzo dziękuję za pomoc!