własności dopełnienia relacji ite: Niech ρ będzie dowolną relacją asymetryczną i przechodnią określoną na dowolnym zbiorze o co najmniej dwóch elementach. Jakie własności ma dopełnienie tej relacji? Dopełnienie będzie zwrotne, nie będzie symetryczne. Czy będzie przechodnie?

Pytający: Nie będzie. Można to zobrazować na przykładzie: rozważ na zbiorze {0, 1, 2} relację asymetryczną i przechodnią {(0, 1)}. Do dopełnienia należą (0, 2) oraz (2, 1), ale nie (0, 1), więc ów dopełnienie nie jest relacją przechodnią.

ite: dopełnienie nie będzie ani symetryczne ani (słabo) antysymetryczne ?

Pytający: Generalnie nie ma takiej gwarancji (patrz powyższy przykład). Co oczywiście nie znaczy, że w ogóle nie ma takich relacji. Na danym zbiorze A = {0, 1, ..., n}, n ≥ 1: • istnieje relacja asymetryczna, przechodnia, której dopełnienie jest symetryczne: jest to relacja pusta, • istnieją relacje asymetryczne, przechodnie, których dopełnienie jest antysymetryczne: relacja {(i, j) ∊ A²: i < j} czy relacja {(i, j) ∊ A²: i > j}.

ite: Już jest jasne, jeszcze raz dziękuję.