Całka podwójna ograniczona obszarem Damian#UDM: Obliczyć całkę ∫_d∫(4x²+4y²+4x)dxdy, gdzie d jest obszarem ograniczonym 9≤x²+y²≤25 Jakie się za to zabrać, jak to zrobić? Narysowałem ten obszar w układzie współrzędnych i jest to pierścień ograniczony dwoma okręgami. Lecz niestety nie wiem jakie wziąć punkty, żeby policzyć tę całkę. Proszę o pomoc!

Mariusz: 3≤r≤5 0≤θ≤2π ∫₃⁵∫₀^2π(4r²+4rcosθ)rdrdθ

Student: Siema

Damian#UDM: Okej, rozumiem, że są na to jakieś wzory. Z czego wynika ta zamiana na cosinus? Są jakieś materiały na internecie, gdzie mógłbym o tym poczytać?

piotr: Przechodzisz na współrzędne biegunowe: x = r cosθ y = r sinθ jakobian przekształcenia J = r

Damian#UDM: Okej, spróbuję to zrobić. Dziękuję!

Damian#UDM: Udało się, myślę, że jest ok. A jeśli mam ograniczenia na przykład

	π
4≤x2+y2≤16 i x≥0 to w tym przypadku liczę dwa pola: pierwsze na przedziale od		do 0
	2

	3π
oraz drugie na przedziale od 2π do		?
	2

Czy mogę policzyć dla przedziału od π do 0, ponieważ są to pola sobie równe?

ICSP:

	π		π
[−		;		]
	2		2

przy okazji przypomnij sobie definicję przedziału.

Damian#UDM: Szczerzę mówiąc nigdy żadnych definicji nie widziałem, ani nie byłem na studiach, gdzie takie zagadnienia były. Wszystkiego uczę się sam Chciałbym nauczyć się to rozwiązywać Gdzie mogę te definicje znaleźć? Dziękuje za pomoc!

ICSP: google wystarczą. Definicja przedziału powinna być Ci znana już podczas nauki w szkole podstawowej. Nie jest to matematyka wyższa.

Damian#UDM: http://matematykadlastudenta.pl/strona/1242.html − widzę, że już takie informacje są na tej stronie, więc z przyjemnością będę z nich korzystał

Damian#UDM: Jest różnica, jeśli najpierw policzę całkę dla r, a później dla α ?

Damian#UDM: Dobra, już widzę, że jest to sobie równoważne Dziękuję za pomoc!

ICSP: Akurat tutaj nie ma różnicy którą całkę liczysz pierwszą. Nie zawsze tak musi być.

Damian#UDM: Super, dziękuję za pomoc A jeśli mam obszar ograniczony od od 2π do π patrząc na koło, to jaki przedział do liczenia całki wybrać?

ICSP: ?

Damian#UDM: Inaczej mówiąc chodzi mi o sytuację na przykład : D, gdzie D jest obszarem ograniczonym nierównościami 4≤x²+y²≤9 oraz y≤0 To jeśli chodzi o kąty to jakie wartości do liczenia całki wybrać?

ICSP: [π;2π]

Damian#UDM: Czyli dobrze, myślałem Dziękuję ICSP dziękuję za pomoc!

Damian#UDM: Przy przejściu na współrzędne biegunowe czynnik dodatkowy czynnik r pojawia się zawsze?

ICSP: Ten czynnik r to jakobian przekształcenia. x = f(r,α) y = g(r,α) I = det(f_r , f_α | g_r , g_α) = f_rg_α − f_αg_r Przy podstawieniu x = rcosα y = rsinα I = cosαrcosα + rsinαsinα = r Inne podstawienie ⇒ Inny Jakobian ⇒ "czynnik r" raczej się zmieni.

Damian#UDM: Okej, bardzo dziękuję za wytłumaczenie!

Mariusz: Damian ,jak chcesz coś do poczytania to proponuję G.M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy Do książki F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych też możesz zajrzeć

Damian#UDM: Okej, dziękuje Mariusz za polecenie materiałów!