Równania i nierówności logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe z 3kl liceum Natka: Bardzo proszę o pomoc! log(10^2x +9)=x+1 log₆ (3^x2 +1)−log₆ (3^2−x2 +9)=log₆ (2− 1) log_1/2 (9^x+2 +3^x+2)> log_1/2 2 Rozwiązania jakie mają wyjść: 1. x należy do {0, log9} 2. x należy do {−1, 1} 3. x należy do (− ∞, −2)

wredulus_pospolitus: log a = b −−−> 10^b = a więc: log(10^2x + 9) = x+1 −−−−> 10^2x + 9 = 10^x+1 −−−> (10^x)² − 10*10^x + 9 = 0 podstawienie: t = 10^x t² − 10t + 9 = 0 −−−> (t−9)(t−1) = 0 −−−> t = 1 lub t = 9 czyli: 10^x = 1 −−−> x = 0 lub 10^x = 9 −−−> x = log9

wredulus_pospolitus: w drugim zadaniu skorzystaj ze wzoru: na pewno po prawej jest log₆(2−1) w trzecim ... pamiętaj że f(x) = log_1/2x jest funkcją MALEJĄCĄ

Natka: Sorki w drugim po prawej jest log₆ 2 −1 I dziękuję Ci bardzo za pomoc Zaraz spróbuję zrobić trzecie

wredulus_pospolitus: 2)

	3x2 + 1
L = log6(		) = ....
	32−x2 + 9

// rozpiszmy:

	1
32−x2 + 9 = 32*3−x2 + 32 = 32(3−x2 + 1) = 32*(		+1) =
	3x2

	1 + 3x2
= 32 *		//
	3x2

	(3x2 + 1)*3x2
... = log6		= log6 3x2 − 2
	32 * (3x2 + 1)

Więc otrzymujemy: log₆(3^x2−2) = log₆2 − 1

	3x2−2		1
log6(		) = log6
	2		6

3x2−2		1		1
	=		−−−> 3x2−2 =		−−−> 3x2−2 = 3−1 −−−>
2		6		3

−−−> x² − 2 = −1 i ciągniesz dalej

wredulus_pospolitus: Przyznam szczerze −−− drugie zadanie faktycznie mogłoby Ci sprawdzić trochę kłopotów ponieważ wymaga sporo (moim zdaniem) niezbyt przyjemnych przekształceń przy których łatwo się można pomylić

Natka: Musiałam trochę się zastanowić patrząc na to 2 zadanie ale teraz rozumiem Ale 3 nadal mi nie wychodzi Z założenia wychodzi mi x <−2 potem robię: 9^X+2+3^x+2<2 (3²)^x+2+3^x+2<2 t= 3^x+2 t²+t−2<0 Delta= 9 Pierwiastek z delty=3 t1= −5 t2= 4 −5< t < 4 −5< 3^x+2 < 4 3^log₃⁻⁵ < 3^x+2 <3^log₃⁴ log₃ −5 < x+2 < log₃ 4

wredulus_pospolitus: źle pierwiastki t² + t − 2 = (t+2)(t−1)

wredulus_pospolitus: √Δ = 3 b = 1 2a = 2

	−1 − 3
t1 =		= −2
	2

	−1 + 3
t2 =		= 1
	2

wredulus_pospolitus: druga sprawa (kwestia zapisu) przed postawieniem winnaś zapisać: (3^x+2)² a nie (3²)^x+2

wredulus_pospolitus: i skąd masz początkowe założenie, że x < −2 To dopiero później się 'pojawia'

Natka: 9x+2 +3x+2 > 0 ale to w sumie daje mi x < −2 .... a t1 i t2 wyszło mi źle bo podłożyłam 9 zamiast 3 przez pomyłkę Co zrobić kiedy mam już t1 i t2?

wredulus_pospolitus: wow wow wow 9^a > 0 dla dowolnego a∊R 3^b > 0 dla dowolnego b∊R więc 9^x+2 + 3^x+2 > 0 dla dowolnego x∊R więc absolutnie z tego nie wynika, że x<−2

wredulus_pospolitus: masz: (t+2)(t−1) < 0 −−−> t ∊ (−2 ; 1) −−−> −2 < t < 1 zgoda więc: −2 < 3^x+2 < 1 zgoda −2 < 3^x+2 < 3⁰ −−−> x+2 < 0 −−−> x < −2 (bo 3^x+2 > 0 > −2 dla dowolnego x∊R patrz wykres funkcji potęgowej)

Natka: Dziękuje

wredulus_pospolitus: jak widzisz ... żeby sobie poradzić z logarytmami, musisz najpierw dobrze opanować działania na potęgach Pamiętaj też, żeby pamiętać od rozpoczęcia z założeniami (czy liczba logarytmowana jest dodatnia) ... ja tego tutaj nie pisałem, powinnaś wyrobić sobie nawyk, że jest to pierwsze co robisz

Jerzy: I podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1