3 równania z 4 niewiadomymi studentka: Proszę o pomoc w znalezieniu x,y, które muszą być liczbami całkowitymi. Wiemy, że

	(26+10z)x0−15t
x=
	3

	(26+10z)y0+15t
y=		.
	3

Równania są spełnione dla każdego z={...,−5,−2,1,4,7,...} oraz dla każdego t całkowitego. Ponadto 6x₀+15y₀=3

studentka: Chyba mi się udało x₀=−7 y₀=3

	(26+10z)(−7)−15t
x=
	3

	(26+10z)3+15t
y=
	3

Jeśli weźmiemy dowolne 't' całkowite oraz 'z' z naszego zbioru, to 'x' i 'y' wyjdą nam całkowite. Ale może ktoś umiałby to ładnie zapisać, żeby widać było, że 'x' i 'y' są całkowite bez podstawiania konkretnych liczb?

wredulus_pospolitus: Nie bardzo rozumiem. x,y mają być całkowitymi liczbami dla DOWOLNEGO z i t Tak

studentka: tak, ale nie dla dowolnego z i t, tylko dla dowolnego z={...,−2,1,4,...} i dowolnego t należącego do zbioru liczb całkowitych

wredulus_pospolitus:

	2		1
6x0+15y0=3 −> yo = −		xo +
	5		5

z = 3n + 1 ; n ∊ Z t ∊ Z

	36xo + 30nxo − 15t
x =		= 12xo + 10nxo − 5t
	3

	36yo + 30nyo − 15t
y =		= 12yo + 10nyo − 5t =
	3

	24		12
= −		xo +		− 4nxo + 2n − 5t
	5		5

Zauważmy, że dla dowolnego x_o mamy spełniony warunek x ∊ Z.

	24		12
Problemem pozostaje y, a konkretniej część: −		xo +		− 4nxo.
	5		5

1) Niech x_o ∊ Z (nie ma podanego w zadaniu, że musi to być liczba całkowita)

	12 − 24xo
Wtedy 4nxo ∊ Z ... więc jedynym problemem pozostaje		∊ Z.
	5

12 − 24xo		12(1 − 2xo)
	=
5		5

	1 − 5k
czyli będzie to spełnione dla każdego xo takiego, że 1 − 2xo = 5k −−−> xo =
	2

zauważmy, że to będzie spełnione dla każdego k nieparzystego (postaci k = 2l+1) i niespełnione dla każdego k parzystego (postaci k = 2l) czyli np.: dla k = 1 mamy:

	1−5
xo =		= −2 −−−> yo = 1
	2

więc: x = −24 − 20n − 5t ∊ Z y = 12 + 10n − 5t ∊ Z Ale co się stanie jeżeli x_o ∉ Z

wredulus_pospolitus: tfu tfu −−−− "Zauważmy, że dla dowolnego x_o mamy spełniony warunek x ∊ Z." Jest błędnym wnioskiem (to ma miejsce gdy x_o ∊ Z )

ICSP: u = 26 + 10z z = 3k + 1 u = 26 + 10z = 26 + 30k + 1 = 30k + 27= 3(10k + 9) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Pierwsze mnożę przez 6 drugie przez 15

	u6x0
6x =		− 30t
	3

	u15y0
15y =		+ 90t
	3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 6x + 15y = u + 60t 6x + 15y = 3(10k + 9) + 60t 2x + 5y = 10k + 9 + 20t a to jest nic innego jak równanie diofantyczne liniowe. Znajdź rozwiązanie a podstawiając naturalne k i t dostaniesz wartości x i y.

wredulus_pospolitus: Jeżeli w zadaniu jest podane, że x_o,y_o ∊ Z to wtedy:

	1 − 5k		1 − 5(2l+1)
xo =		=		= 3 − 5l
	2		2

	2(3−5l)		1		10l − 5
yo = −		+		=		= 2l − 1 (zawsze całkowita)
	5		5		5

Więc rozwiązaniem będzie każda para liczb (3−5l ; 2l−1) gdzie l ∊ Z Ty znalazłem rozwiązanie dla l = 2: (3−10 ; 4−1) −−−> (−7 , 3) ale jak widzisz to nie jest jedyne rozwiązanie

studentka: Jeśli x₀ nie jest całkowite, to x również nie będzie całkowity

studentka: ok, rozumiem i bardzo dziękuję czyli moje trafione liczby na początku nie wystarczą do tego, aby zadanie było rozwiązane prawda? Oczywiście odnajdywałam je metodą prób i błędów

wredulus_pospolitus: Jeżeli jednak nie musi być spełnione x_o , y_o ∊ Z toooo ... wracamy do naszego przekształcenia: x = 12x_o + 10nx_o − 5t ∊ Z dla DOWOLNEGO n∊Z oraz t∊Z związku z tym musi zachodzić 10x_o ∊ Z oraz 12x_o ∊ Z (w przeciwnym razie 12x_o + 10nx_o ∊ Z nie będzie zachodzić dla DOWOLNEGO n∊Z) związku z tym: x_o = ± 1/2 więc mamy dwie pary do sprawdzenia:

	24
xo = −1/2 ; yo = 2/5 (ale wtedy y =		+ 4n − 5t ∉ Z)
	5

x_o = 1/2 ; y = 0 (i wtedy y = −5t ∊ Z) więc dorzucamy do rozwiązań parę: (1/2 ; 0)

studentka: W poleceniu nie jest podane, że x₀ i y₀ są całkowite, ale według mnie musi tak być, żeby można było znaleźć x i y całkowite.

wredulus_pospolitus: I jak widzisz −−− założenie, że x_o musi być całkowite, aby x,y było całkowite także NIE JEST poprawnym założeniem

studentka: no tak, już widzę

wredulus_pospolitus: Gdyby to zadanie było na egzaminie to podejrzewam, że tylko garstka ludzi zrobiłaby w całości poprawnie (czyli znalazła także parę (0.5 ; 0) ) Interesujące zadanie, które wymagało trochę 'nieszablonowego' podejścia, aby w miarę szybko policzyć i się nie zaliczyć na śmierć.

wredulus_pospolitus: PS. Warto też sobie sprawdzić, czy otrzymana para liczb spełnia warunek zadania: 6x_o + 15y_o = 3 6(3−5l) + 15(2l−1) = 18 − 30l + 30l − 15 = 3 <−−− więc teraz jesteśmy (prawie) pewni, że jest dobrze (po dorzuceniu pary (0.5 ; 0) )

studentka: Dokładnie, jednak zadziwia mnie to, że szybciej rozwiązujesz te zadanie, niż ja je analizuje. To nie jest pełne zadanie, tylko jego końcówka, w której utknęłam, ale myślę, że raczej na egzaminie by się nie pojawiło

studentka: tak właśnie planowałam zrobić, jednak póki co notuję, żeby mieć wszystko w całości i po kolei

studentka: Teraz wpadłam na pomysł, żeby rozwiązać to jeszcze algorytmem Euklidesa. Jednak udało mi się znaleźć tylko jedno rozwiązanie (−2, 1). Wiem, że algorytm Euklidesa sprawdza się tylko w liczbach całkowitych, ale widzę teraz, że nie da się nim podać wszystkich rozwiązań. Czy zatem jeśli mamy rozwiązać jakieś równanie z dwiema niewiadomymi i skorzystamy z algorytmu Euklidesa, to nigdy nie mamy pewności, że znaleźliśmy wszystkie rozwiązania, czy ja coś źle rozumuję?